Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Марковский процесс

Марковский процесс (далее М), важный специальный вид случайных процессов, имеющих большое значение в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Примером М может служить распад радиоактивного вещества. Известно, что вероятность распада данного за малый промежуток времени dt равна adt, где a - постоянная, характеризующая интенсивность распада данного радиоактивного вещества; эта вероятность не зависит от судьбы всех других и от возраста данного Пусть обозначает число радиоактивного вещества в некоторый начальный момент времени t = 0 и n(t) - вероятность того, что к моменту времени t распалось n Вероятности n(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

,

,

  Решая эту систему уравнений при начальных данных

0(0) = 1, n(0) = 0,  1 £ n £ ,

получаем

.

В этом примере в каждый момент времени имеется либо 0, либо 1, либо 2, ..., либо распавшихся причем число их характеризует состояние изучаемого явления.

  Рассмотренный пример укладывается в следующую более общую схему. Пусть всевозможными состояниями изучаемой системы являются w1, w2, ..., wn, ... в конечном или бесконечном числе. В каждый момент времени система может находиться в одном из этих состояний, и с течением времени происходят случайные переходы из одного состояния в другое. Процесс называют марковским, если состояние системы wi в некоторый момент времени определяет лишь вероятность pij(t) того, что через промежуток времени t система будет находиться в состоянии wj, причем эта вероятность не зависит от течения процесса в предшествующий период. Вероятности pij(t) называют переходными вероятностями. При очень широких условиях переходные вероятности М удовлетворяют конечной или бесконечной системе линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

  Теория М возникла на основе исследований А. А. Маркова (старшего), который в работах 1907 положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова. В теории цепей Маркова рассматриваются такие системы, которые могут переходить из одного состояния в другое лишь во вполне определенные моменты времени ti, ti, ... , tk, ... Пусть pij обозначает вероятность того, что система в момент времени tk+1 находится в состоянии wj, если известно, что в момент времени tk она находилась в состоянии wi. Исследование цепей Маркова можно свести к изучению матриц переходных вероятностей . Вместе с тем ряд физиков и техников в своих исследованиях показали важность процессов, в которых рассматриваемая система претерпевает случайные изменения в зависимости от некоторого числа непрерывно меняющихся параметров (времени, координат и т. п.). Исследования этого направления не имели прочной логической основы. Общая теория М и их классификация были даны советским математиком А. Н. Колмогоровым в 1930. Его исследования дали логически безупречную математическую основу общей теории М, охватывающей, наряду с процессами описанного выше вида, также процессы типа диффузии, в которых состояние системы характеризуется непрерывно изменяющейся координатой диффундирующей частицы.

  В этом случае вместо переходных вероятностей естественно рассматривать соответствующие плотности вероятностей f(t, х, у). Тогда f(t, х, у) есть вероятность того, что частица, находившаяся в точке х, через промежуток времени t будет иметь координату, заключенную между у и y+dy. Колмогоров показал (при некоторых общих условиях), что плотности f(t, х, у) удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению с частными производными

,

которое ранее было введено для важного в физике специального случая процесса диффузии немецкими физиками А. Фоккером и М. Планком. В этом уравнении коэффициент A(y) представляет собой среднюю скорость изменения координаты у, а коэффициент В(у) - интенсивность случайных колебаний около этой средней. Указанное уравнение явилось источником для многих исследований по теории М в СССР и за рубежом.

  Лит.: Марков А. А., Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1951; Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, "Успехи математических наук", 1938, в. 5; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, перевод с английского, т. 1 - 2, М., 1967; Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965.

  Б. А. Севастьянов, С. Х. Сираждинов.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 28.03.2024 11:58:13