|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Экстремум | Экстремум (далее Э) (от лат. extremum - крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + d, x0 - d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), ³ f (x) (соответственно, f (x0) £ f (x)). Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) (или f (x0) << f (x)) при х ¹ x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f`(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x0) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f"(x) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x0 максимум; если f"(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э). Если же f"(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f (x) не имеет Э в точке x0 (точки D, Е и на рис. 1). Если f (x) в точке x0 имеет п последовательных производных, причем f"(x0) = f"(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a f (n)(x0)¹0, то при п нечетном f (x) не имеет Э в точке x0, а при п четном имеет минимум, если f (n) (x0) > 0, и максимум, если f (n) (x0) < 0. Э функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции.
Аналогично Э функции одного переменного определяется Э функции нескольких переменных. Необходимым условием Э является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f"x = f"y = 0,
D = f" xx f" уу > 0,
то f (x, у) в точке М имеет Э (максимум при f"xx < 0 и минимум при f"xx > 0); Э в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).
Достаточные условия Э функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы
ni, k=1 aikDxiDxk
где aik - значение f"xixk в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.
Термин "Э" употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
