Число (матем.)

Число (далее Ч) важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде еще в первобытном обществе, понятие Ч (матем.) изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч (матем.) определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч (матем.) становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч (матем.) определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Ч (матем.) протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного Ч (матем.) отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчета о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озер, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, "три человека", "три озера" и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счета предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием ("много") о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.д.

Источником возникновения понятия отвлеченного Ч (матем.) является примитивный счет предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определенной совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы ("счет на пальцах"), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Ч (матем.) становится отвлеченным, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счета заставили людей употреблять другие счетные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Ч (матем.) стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определенного Ч (матем.) (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения Ч (матем.) значительно расширились. Сначала Ч (матем.) стали обозначаться черточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших Ч (матем.) Вавилонские клинописные обозначения Ч (матем.), так же, как и сохранившиеся до наших дней "римские цифры", ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для Ч (матем.) Шагом вперед была позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное Ч (матем.) при помощи десяти знаков — цифр. Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч (матем.) принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие Ч (матем.), воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального Ч (матем.) является осознание бесконечности натурального ряда Ч (матем.), т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В "Началах" Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч (матем.), в книге Архимеда "Псаммит" — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч (матем.), в частности больших, чем "число песчинок в мире".

С развитием понятия натурального Ч (матем.) как результата счета предметов в обиход включаются действия над Ч (матем.) Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счета равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение, Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч (матем.) — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч (матем.) как таковых, в уяснении все более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч (матем.), выделяются классы четных и нечетных Ч (матем.), простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч (матем.) продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория.

Натуральные Ч (матем.), кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут еще другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Ч (матем.) (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч (матем.) (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчет с применением порядковых Ч (матем.) является наиболее употребительным с незапамятных времен способом счета предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального Ч (матем.) долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Ч (матем.) столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч (матем.) Отчетливое определение понятия натурального Ч (матем.) на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч (матем.) как результата счета предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счет заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих "эталонную" совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч (матем.)), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч (матем.) в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального Ч (матем.) базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Следует отметить, что перенесение понятия порядкового Ч (матем.) на бесконечные совокупности (порядковые трансфинитные числа и более общо — порядковые типы (см. Множеств теория)) резко расходится с обобщенным понятием количественного Ч (матем.); это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.

Исторически первым расширением понятия Ч (матем.) является присоединение к натуральным Ч (матем.) дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч (матем.) связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении ее с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции "откладывания" единицы измерения на измеряемой величине и счета числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и "удобных" дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч (матем.) созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч (матем.) как о частном при делении двух натуральных Ч (матем.), из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).

Дальнейшие расширения понятия Ч (матем.) обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Ч (матем.) возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч (матем.) необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч (матем.) В Индии еще в 6—11 вв. отрицательные Ч (матем.) систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные Ч (матем.) окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч (матем.) как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стерло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Ч (матем.) целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Ч (матем.) обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч (матем.) является снова рациональным Ч (матем.) Совокупность рациональных Ч (матем.) упорядочена в отношении понятий "больше" и "меньше". Далее, совокупность рациональных Ч (матем.) обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч (матем.) находится бесконечно много рациональных Ч (матем.) Это дает возможность при помощи рациональных Ч (матем.) осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч (матем.) оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч (матем.) было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч (матем.), принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных Ч (матем.) оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия Ч (матем.), заключающееся в переходе от множества рациональных Ч (матем.) к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным Ч (матем.) т. н. иррациональных чисел. Еще в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч (матем.), если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в "Началах" Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч (матем.) Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч (матем.), у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно большую близость к прикладным вопросам, в частности приближенные вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч (матем.) как Ч (матем.), выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.

В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближенных вычислений. Отчетливое определение понятия действительного Ч (матем.) дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во "Всеобщей арифметике": "Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу". Эта формулировка дает единое определение действительного Ч (матем.), рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Ч (матем.) было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса ("разорвать" прямую на две части), то либо в первом классе найдется самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошел "разрыв" прямой.

Совокупность всех рациональных Ч (матем.) свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Ч (матем.) разбить на два класса так, что каждое Ч (матем.) первого класса будет меньше каждого Ч (матем.) второго класса, то при таком разбиении ("сечении" Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Ч (матем.), а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Ч (матем.), нуль и все положительные Ч (матем.), квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Ч (матем.), квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем дается следующее определение иррационального Ч (матем.): каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Ч (матем.) сопоставляется иррациональное Ч (матем.), которое считается большим, чем любое Ч (матем.) первого класса, и меньшим, чем любое Ч (матем.) верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч (матем.), рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного Ч (матем.) отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч (матем.) определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч (матем.), которая мыслится как данная вся целиком.

В последние годы разрабатывается концепция "вычислимых" Ч (матем.), т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч (матем.) определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточненного понятия алгоритма.

Заключительный этап в развитии понятия Ч (матем.) — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного Ч (матем.) явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч (матем.) возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвертой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч (матем.), невыполнимому в области действительного Ч (матем.) Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч (матем.), по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч (матем.) Возникающая при этом "мнимость" исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч (матем.) Однако комплексные Ч (матем.) и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине "мнимое" Ч (матем.) Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч (матем.) в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч (матем.) в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Еще до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Ч (матем.) начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных Ч (матем.) обладает так же, как совокупность действительных Ч (матем.) и совокупность рациональных Ч (матем.), свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч (матем.) обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч (матем.) Совокупность всех действительных Ч (матем.) (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х²+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч (матем.) не может быть далее расширена за счет присоединения новых Ч (матем.) так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч (матем.)

Наряду с основной линией развития понятия Ч (матем.) (натуральные Ч (матем.) ® рациональные Ч (матем.) ® действительные Ч (матем.) ® комплексные Ч (матем.)), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Ч (матем.) в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч (матем.) В современной теории Ч (матем.) получили большое значение т. н. р-адические Ч (матем.), системы которых получаются из систем рациональных Ч (матем.) посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч (матем.) В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч (матем.) — группы, кольца, поля, алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа).

Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Чвые системы, М., 1972.

Д. К. Фаддеев.

		Новости 21.11.2024 11:41:58

	Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.