|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Тригонометрический ряд | Тригонометрический ряд (далее Т), функциональный ряд вида
 , (1)
то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т записываются в комплексной форме
  .
Числа an, bn или cn называют коэффициентами Т
Т играют весьма важную роль в математике и ее приложениях. Прежде всего Т дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т, естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.
Т впервые появляются в работах Л. Эйлера ("Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:
 ,
Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т: если  , где cn действительны, то  (где обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Т могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении
 ,
а именно:
  ,
были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Т был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a0 и a1 встречаются еще раньше у Ж. Д"Аламбера (1754).
Т привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50—70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что "произвольная" функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было еще недостаточно отчетливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т, было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Т при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Т прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Т в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т; исследования, относящиеся к изображению функций Т, привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902—06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т, придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.
Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
