|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Трансфинитные числа | Трансфинитные числа (далее Т) (от транс… и лат. finitus - ограниченный), обобщенные порядковые числа. Определение Т опирается на понятие вполне упорядоченного множества (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). Каждое конечное множество можно сделать вполне упорядоченным, выписав все его элементы в определенном порядке. Простейшим примером бесконечного вполне упорядоченного множества является множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания; то же множество, расположенное в порядке убывания (так что большее считается предшествующим меньшему), уже не будет вполне упорядоченным, так как ни одно его бесконечное подмножество не имеет первого элемента. Два упорядоченных множества Х и называются подобными или имеющими один и тот же порядковый тип, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов (то есть такое, что для любых двух элементов x", х" множества Х и соответствующих им элементов y", у" множества из x"<x" следует у"<у" и обратно). Все конечные вполне упорядоченные множества, содержащие одинаковое число элементов, подобны между собой. Поэтому порядковые типы конечных вполне упорядоченных множеств можно отождествить с натуральными числами, которые появляются, таким образом, как порядковые числа (тогда как, характеризуя количество элементов множества, те же натуральные числа выступают в другом своем аспекте - количественных чисел).
Трансфинитными числами называются порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств. Тем самым понятие Т представляет собой распространение понятия порядкового числа на бесконечные множества. Аналогичное обобщение понятия количественного числа приводит к понятию мощности множества. Так как неравномощные множества нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие, то вполне упорядоченным множествам различной мощности соответствуют различные Т Однако обратное (в отличие от случая конечных множеств) неверно: бесконечные вполне упорядоченные множества могут быть равномощными, не будучи подобными и тем самым определяя различные Т
Для Т можно ввести понятия "больше" и "меньше". Именно, Т a, по определению, меньше Т b (a < b), если какое-либо (а значит, и любое) вполне упорядоченное множество типа a подобно некоторому отрезку какого-нибудь (а следовательно, и любого) множества типа b (отрезком вполне упорядоченного множества, отсеченным элементом х, называется подмножество его элементов, предшествующих х). При этом доказывается, что для любых двух Т a и b всегда осуществляется один и только один из трех случаев: либо a < b, либо a = b, либо a > b.
В применении Т к различным вопросам математики важную роль играет принцип трансфинитной индукции, обобщающий обычный принцип математической индукции на произвольные вполне упорядоченные множества: если некоторое предложение верно для первого элемента вполне упорядоченного множества Х и если из того, что оно верно для всех элементов множества X, предшествующих данному элементу x из множества X, следует его справедливость и для элемента х, то это предложение верно для каждого элемента множества X.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 21.11.2024 11:35:31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
