Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Тейлора ряд

Тейлора ряд (далее Т) степенной ряд вида

  , (1)

где f (x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а:

   (2)

(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность Rn (x) = f (x) — n (x), где n (x) — сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т Формула (2) справедлива, если . Т можно представить в виде

  ,

применимом и к функциям многих переменных.

  При а = 0 разложение функции в Т (исторически неправильно называемый в этом случае рядом Маклорена; см. Маклорена ряд) принимает вид:

,

в частности:

   (3)

   (4)

   (5)

   (6)

  .(7)

Ряд (3), являющийся обобщением на случай дробных и отрицательных показателей формулы бинома Ньютона, сходится: при -1< х < 1, если m < -1; при -1< x £ 1, если             -1< m < 0; при -1 £ x £ 1, если m > 0. Ряды (4), (5) и (6) сходятся при любых значениях х, ряд (7) сходится при -1< x £ 1.

  Функция f (z) комплексного переменного z, регулярная в точке а, раскладывается в Т по степеням zа внутри круга с центром в точке я и с радиусом, равным расстоянию от а до ближайшей особой точки функции f (z). Вне этого круга Т расходится, поведение же его на границе круга сходимости может быть весьма сложным. Радиус круга сходимости выражается через коэффициенты Т (см. Радиус сходимости).

  Т является мощным аппаратом для исследования функций и для приближенных вычислений. См. также Тейлора формула.

 

  Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 28.03.2024 23:42:18