Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Средние

Средние (далее С) средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.

1)      Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С являются: арифметическое среднее 

,

  геометрическое среднее

,

  гармоническое среднее

  ,

  квадратичное среднее

  .

  Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого a ¹ 0 определить степенное С

 

  частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С, именно: s (а равняется a, h и q соответственно при a = 1, —1 и 2. При a ® 0 степенное С, sa стремится к геометрическому С, так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sa £ sb, если a £ b, в частности

  h £ g £ a £ q.

  Арифметическое и квадратичное С находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С могут быть получены из формулы

  ,

  где f-1(h) — функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое С получается, если f(x) = x, геометрическое С — если f (x) = log x, гармоническое С — если f (x) = 1/x, квадратичное С — если f (x) = x2.

  Наряду со степенными С рассматривают взвешенные степенные С

 

  в частности при a = 1,

  ,

  которые переходят в обыкновенные степенные С при р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).

  2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С a1 и геометрическое С g1. Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С a2 и геометрическое С g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.

  3) Средним значением функции называется любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим ее значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд "теорем о среднем", устанавливающих существование таких точек, в которых функция или ее производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке (а, b) и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) — f (a) = (b—a) f`(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке (а, b), а j(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что

  .

  В частности, если j(x) = 1, то

  .

  Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке (а, b) обычно понимают величину

  .

  Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 29.03.2024 08:57:48