Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Автоморфная функция

Автоморфная функция (далее А) (от авто... и греческого morphē - вид) (матем.), аналитическая функция, значения которой не изменяются, если ее аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К А относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции.

  Так, например, если указанные преобразования - целые и имеют вид: z` = z + w, где w -  комплексное число, отличное от нуля, то получаются А, характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторенный сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z` = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г - некоторая группа дробно линейных преобразований;



  и G - область, которая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А (по отношению к данной группе Г), если f (Tk (z)) = f (z), (k = 1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А можно рассматривать как такое обобщение периодических функций, при котором сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении общей теории А (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А, в ее современном состоянии, представляет замечательный пример плодотворности геометрических идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математического анализа и теории функций.

  К общим А, помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых порядка выше четвертого (см. Алгебраическая геометрия), решение алгебраических уравнений (например, решение общего уравнения пятой степени с одним неизвестным получается посредством А) и т. д.

  Лит.: Форд Л. ., Автоморфные функции, пер. с англ., М.- Л., 1936; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937, гл. 8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 19.05.2022 18:25:04
18:10 Шольц прокомментировал сроки вступления Украины в ЕС
18:09 Губернатор Белгородской области заявил об обстрелах 19 домов
18:08 Собака несколько дней просидела рядом с телом умершего хозяина
18:07 Диетолог предупредил худеющих людей о коварных фруктах
18:06 Россияне назвали самую желанную для путешествий страну мира
18:03 Начальника российского СИЗО арестовали за принуждение к даче показаний
18:00 В Госдуме высказались о возможном размере индексации пенсий
17:59 Пенсионный фонд и Фонд социального страхования объединят
17:58 Вера Алентова рассказала о продолжении фильма «Москва слезам не верит»
17:53 Рогозин рассказал о мощности «Сармата»
17:25 Женщина с 2500 личностями выиграла новое дело против насиловавшего ее отца
17:05 Джордж Буш заявил об обязанности Михаила Саакашвили воевать против русских
Больше новостей
СегодняРоссия «Это была движуха и тусовка» 100 лет назад в СССР появились пионеры. Ради чего миллионы детей надевали красный галстук?
СегодняКультура «Одним словом — неудача» В Каннах показали новый фильм Серебренникова о Чайковском. Как его приняли на Западе?
СегодняСиловые структуры Круиз по зонам. Как криминальный авторитет бесследно исчез в российских тюрьмах после конфликта со спецслужбами
18:06 Латвийский внедорожник дополнили бронированными худи и смокингом
18:04 В России стали в полтора раза чаще воровать автомобильные фары и колеса
18:03 В России подешевел бензин и подорожал дизель