|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Ряд (математич.) | Ряд (далее Р) бесконечная сумма, например вида
u1 + u2 + u3 +... + un +...
или, короче,
 . (1)
Одним из простейших примеров Р (математич.), встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 + q + q 2 +... + q n +... = 1/(1 - q), ½q½< 1. (2)
Р (математич.) широко используются в математике и ее приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Р (математич.), с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью. Например, для числа p имеется Р (математич.)
 , (3)
для основания е натуральных логарифмов — Р (математич.)
 , (4)
а для натурального логарифма 2 — ряд
 .
Метод разложения в Р (математич.) является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.
При численных расчетах, когда Р (математич.) заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку "скорости сходимости" Р (математич.)). При этом целесообразно использовать Р (математич.), у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n. Например, в случае Р (математич.) (4) оценка указанной погрешности имеет вид 0 < е — sn < 1/n! n.
Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Р (математич.) (3), имеются и другие Р (математич.), например
 ,
однако он сходится значительно "медленнее" Р (математич.) (3), и потому его невыгодно использовать для приближенного вычисления числа p. Существуют методы преобразования Р (математич.), иногда улучшающие скорость сходимости Р (математич.)
На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р (математич.)
1 - 1 + 1 - 1 +... (5)
и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать четкое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определенных условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.
Числовые ряды. Формально Р (математич.) (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {un} и {n} таких, что n = u1 +... + un, n = 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р (математич.), а вторая — последовательностью его частичных сумм (точнее n называется частичной суммой n-го порядка Р (математич.) (1)). Р (математич.) (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {n}. В этом случае предел
называется суммой Р (математич.) и пишется
Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р (математич.), так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р (математич.) называется расходящимся. Примером сходящегося Р (математич.) является Р (математич.) (2), расходящегося — Р (математич.) (5). Каждый Р (математич.) однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {sn} имеется и притом единственный Р (математич.), для которого она является последовательностью его частичных сумм, причем члены un этого Р (математич.) определяются по формулам u1 = s1,..., un+1 = sn+1 — sn,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Р (математич.) эквивалентно изучению последовательностей.
Р (математич.)  называется остатком порядка n Р (математич.) (1). Если Р (математич.) сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р (математич.) сходится, то и сам Р (математич.) также сходится. Если остаток порядка n Р (математич.) (1) сходится и его сумма равна rn, то s = sn + rп.
Если Р (математич.) (1) и Р (математич.)
сходятся, то сходится и Р (математич.)
 ,
называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р (математич.) Если Р (математич.)(1) сходится и l — комплексное число, то Р (математич.)
 ,
называемый произведением Р (математич.) на число l, также сходится и
 .
Условие сходимости Р (математич.), не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р (математич.) неизвестна), дает критерий Коши: для того чтобы Р (математич.) (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер ne, что при любом n ³ ne и любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство
 .
Отсюда следует, что если Р (математич.) (1) сходится, то
Обратное неверно: n-й член так называемого гармонического ряда
стремится к нулю, однако этот Р (математич.) расходится.
Большую роль в теории Р (математич.) играют Р (математич.) с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р (математич.) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
 ,
поэтому в этом случае пишут
 .
Для Р (математич.) с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р (математич.)
 (7)
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
 .
С помощью этого признака легко устанавливается, что Р (математич.)
 (8)
сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.
Признак сравнения: если для двух Р (математич.) (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ un £ c un, то из сходимости Р (математич.) (6) следует сходимость Р (математич.) (1), а из расходимости Р (математич.) (1) — расходимость Р (математич.) (6). Обычно для сравнения берется Р (математич.) (8), а в заданном Р (математич.) выделяется главная часть вида А/n a. Таким методом сразу получается, что Р (математич.) с n-м членом
 ,
где
сходится, поскольку сходится Р (математич.)
 .
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р (математич.) сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р (математич.) расходится. Так, например, Р (математич.) с n-м членом un = sin (1/n 2) сходится, ибо
 (a = 2)
a Р (математич.) с un = tg (p/n) расходится, здесь
 (a = 1)
Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д"Аламбера: если существует  (un > 0), то при l < 1 . (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует  (un ³ 0), то при l < 1 . (1) сходится, а при l > 1 . расходится. При = 1 как в случае признака Д"Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р (математич.)
Важный класс Р (математич.) составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р (математич.) (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р (математич.)
 .
Если Р (математич.) абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р (математич.)
абсолютно сходится, а Р (математич.)
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р (математич.) и произведение абсолютно сходящегося Р (математич.) на число являются также абсолютно сходящимися Р (математич.) На абсолютно сходящиеся Р (математич.) наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
 (9)
— ., составленный из тех же членов, что и Р (математич.) (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р (математич.) (1) сходится абсолютно, то Р (математич.) (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р (математич.) (1). Если Р (математич.) (1) и Р (математич.) (6) абсолютно сходятся, то Р (математич.), полученный из всевозможных попарных произведений umun членов этих Р (математич.), расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причем если сумма этого Р (математич.) равна s, а суммы Р (математич.) (1) и (6) равны соответственно s1 и s2, то s = s1s2, т. е. абсолютно сходящиеся Р (математич.) можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р (математич.) с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р (математич.), не абсолютно сходящихся (такие Р (математич.) называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р (математич.) можно получить Р (математич.), имеющий наперед заданную сумму, или расходящийся Р (математич.) Примером условно сходящегося Р (математич.) может служить Р (математич.)
 .
Если в этом Р (математич.) переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
 ,
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р (математич.) Например, признак Лейбница: если
 ,  ,
то знакочередующийся Р (математич.)
 (10)
сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р (математич.), представимых в виде
 . (11)
Признак Абеля: если последовательность {an} монотонна и ограничена, а Р (математич.)
сходится, то Р (математич.) (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р (математич.)
ограничена, то Р (математич.) (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р (математич.)
сходится при всех действительных a.
Иногда рассматриваются Р (математич.) вида
 .
Такой Р (математич.) называется сходящимся, если сходятся Р (математич.)
 и 
сумма этих Р (математич.) называется суммой исходного Р (математич.)
Р (математич.) более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р (математич.) вида
 ,
где  — заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами, n1, n2,..., nk, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р (математич.) этого типа — двойные ряды.
Для некоторых числовых Р (математич.) удается получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р (математич.) Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
rn = qn+1/(1 - q), ½q½< 1,
для . (7) при сделанных предположениях
 ,
а для . (10)
½rn½ £ un+1
С помощью некоторых специальных преобразований иногда удается "улучшить" сходимость сходящегося Р (математич.) В математике используются не только сходящиеся Р (математич.), но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р (математич.) (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р (математич.) (5) можно просуммировать определенным способом к 1/2.
Функциональные ряды. Понятие Р (математич.) естественным образом обобщается на случай, когда членами Р (математич.) являются функции un = un (x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определенные на некотором множестве Е. В этом случае ряд
 ,  (11)
называется функциональным.
Если Р (математич.) (11) сходится в каждой точке множества Е, то он называется сходящимся на множестве Е. Пример: Р (математич.)  сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р (математич.) непрерывных, например, на некотором отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Р (математич.) переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р (математич.) Сходящийся Р (математич.) (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е, если во всех точках Е отклонение частичных сумм Р (математич.)
при достаточно больших номерах n от суммы Р (математич.)
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперед заданное число e > О, существует такой номер ne, что
для всех номеров n £ ne и всех точек х Î Е. Это условие равносильно тому, что
( — верхняя грань  на Е). Например, Р (математич.)
равномерно сходится на отрезке (0, q) при 0 < q < 1 и не сходится равномерно на отрезке (0, 1).
Критерий Коши: для того чтобы Р (математич.) (11) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер ne, что для всех номеров п ³ ne, р … 0 и всех точек  выполнялось неравенство
Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Р (математич.)
 ,
что  ê,  , n = 1, 2,..., то Р (математич.) (11) равномерно сходится на Е.
Сумма равномерно сходящегося Р (математич.) непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р (математич.) интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р (математич.) можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р (математич.) интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерной функции равен сумме Р (математич.) из интегралов от членов Р (математич.) Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р (математич.) с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке Р (математич.) (11) дифференцируемы на нем и Р (математич.) из их производных сходится равномерно, то сумма Р (математич.) также дифференцируема на этом отрезке и Р (математич.) можно почленно дифференцировать.
Понятие функционального Р (математич.) обобщается и на случай кратных Р (математич.) В различных разделах математики и ее приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р (математич.), прежде всего в степенные ряды, тригонометрические ряды и, более общо, в Р (математич.) по специальным функциям некоторых операторов.
К понятию бесконечных сумм подошли еще ученые Древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р (математич.) вошел в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р (математич.) для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р (математич.) успешно развивалась в 18—19 вв. в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Д" Аламбера, Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р (математич.), хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р (математич.) была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и др.
Лит.: Маркушевич А. И., Ры. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.
Л. Д. Кудрявцев.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 21.11.2024 13:25:14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
