Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Риманова геометрия

Риманова геометрия (далее Р) многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближенно имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р получила свое название по имени Б. Римана, который заложил ее основы в 1854.

  Понятие о римановой геометрии. Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая внутренняя геометрия), будучи приближенно евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

  Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р В основе Р лежат три идеи. Первая идея — признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, — была впервые развита Н. И. Лобачевским, вторая — это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и ее аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея — понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввел общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства (см. Геометрия, раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенес на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

  После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Р и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки Р Решающее значение имело применение Р в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р и ее разнообразных обобщений. В настоящее время Р вместе с ее обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причем особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

  Определение риманова пространства. К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n-мерного многообразия определяется n координатами x1, x2,..., xn. В евклидовом n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками X, в надлежаще выбранных координатах выражается формулой



где Dxi — разности координат точек X, . Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точки А могут быть введены координаты x1,..., xn так, что расстояние между точками X, , близкими к А, выражаются формулой



где e таково, что , когда X, приближаются к А. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками (xi) и (xi + dxi), или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задается выражением



(здесь коэффициенты  суть функции координат), которое называется линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространство R можно аналитически определить как n-мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма



(она называется также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определенной). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако ее величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от xi к  должна оставаться неизменной:



  Это приводит к определенному закону преобразования коэффициентов gij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление); он называется метрическим тензором риманова пространства.

  Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется так называемое касательное евклидово пространство EA, в которое отображается некоторая окрестность точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А. Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A0 пространства EA таких координат, что в них квадрат линейного элемента  евклидова пространства EA выражается в точке A0 такой же формой , какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2 в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

  Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой  (i = 1, …, n, ) в римановом пространстве R определяется как интеграл



вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин "малым масштабом", как отметил еще Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние r(Х, ) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

  2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

  3) Объем n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:

 где .

  Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала



(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

,

где Гijk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора gij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей (длина ее будет равна внутреннему расстоянию r(А, В) между этими точками), и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

  Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, еще далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.

  Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x1,..., xn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности , то между линейными элементами ds риманова и dso евклидова пространств будет такая связь:

+, где  при

i = 1, …, n.

откуда следует, что разность ds — dso имеет порядок не ниже, чем

.

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счет специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле



лишь через gik, и их производные до второго порядка.

  Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

  Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение ее окрестности L в евклидово пространство EL при котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется разверткой L" этой кривой на евклидово пространство (для поверхности в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развернутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi (t) определяется дифференциальным уравнением

.

  Если , то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развертка геодезической — прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии "абсолютного параллелизма" наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

  Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает ее отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесен в точку M" и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM" кривой L. При стремлении M" к М существует предел

,

который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой x = xi (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

,

где

;

таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной ее развертки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

  Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.

  Риманова кривизна. Пусть М — точка риманова пространства, — двумерная поверхность xi = xi (u, u), проходящая через М, L — простой замкнутый контур на , проходящий через М, s — площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор ai, касательный к поверхности (т. е. линейно выражающийся через векторы ), перенесен параллельно по L.

  Тогда составляющая перенесенного вектора, касательная к , окажется повернутой по отношению к ai на угол j (положительное направление отсчета углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел

,

называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от ее направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы .

  Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:

,

где

,

причем параметры u, u выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна 1.

  В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну k, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:

,

в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических

,

где А, В, С — величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R его эйлерова характеристика c(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны:

.

  Эта формула обобщена на случай четно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.

  Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.

  Риманова кривизна играет важную роль в геометрических приложениях Р, тем более, что на всяком многообразии можно ввести некоторую риманову метрику. Так, например, топологическое строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в которых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомеоморфна n-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизна К удовлетворяет неравенствам , где d — некоторая постоянная. От величины кривизны полного риманова пространства R зависит и его диаметр d — точная верхняя грань расстояний между точками R, определяемых внутренней метрикой R: например, если К ³ o > 0, то d, если же , то R — сфера радиуса .

  Метрическая связность. Параллельное перенесение вдоль кривой L с концами А, В задает изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование ti касательного пространства EA в точке А в касательное пространство E в точке А. Дифференциал преобразования ti в точке А, т. е. главная линейная часть изменения ti; при переходе из А (xi) в близкую точку (xi + dxi), определяет некоторый геометрический объект, называется римановой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм

, i, j, …, n.

  Однако в римановом пространстве R можно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами , но уже не симметричными по индексам j, k и не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор gij и его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:

,

геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с и углами А, В, С. Тогда главная часть проекции кручения в точке А на сторону AB равна отношению величины с — acosB — bcosA к площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к AB — величине asinB — bsinA, деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

  Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор



кососимметричен по всем индексам.

  Подпространства. На m-мерном подмногообразии М риманова пространства R, задаваемом уравнениями xi = xi (u1,..., um), причем ранг матрицы  равен m, имеет место Р, определяемая метрическим тензором



  М называется римановым подпространством пространства R.

  Достаточно малая область m-мерного риманова пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности (т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что ; вопрос о минимальном значении в общем случае еще не решен, однако если коэффициенты метрической формы gij пространства R являются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то . Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики полей) известно еще меньше.

  Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К. погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трехмерное риманово пространство кривизны не меньшей К (проблема Г. Вейля (1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства), причем любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают (т. е. овалоид однозначно определен своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)). 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны £ o < 0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности (советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского (К = —1) разобран Д. Гильбертом (1901)). 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырехмерное евклидово пространство (советский математик Э. Г. Позняк (1973)).

  Приложения и обобщения римановой геометрии. 1) Поскольку Р определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов gij является отражением одного из фундаментальных физических законов — закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная еще Риманом (1861), явилась первым приложением Р

  2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщенных сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией



где  — обобщенные скорости, являются геодезическими соответствующего n-мерного риманова пространства с метрическим тензором gij. О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип).

  3) В приложениях Р к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

  а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокации;

  б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора  такого, что



где  — Кронекера символ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;

  в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензора gij пропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов, в частности избранные (или "разрешенные") орбиты движения электронов в — кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.

  4) Развитие Р в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение) и механикой сплошных сред породило различные обобщения ее предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства — времени) — четырехмерное пространство с заданной на нем знаконеопределенной невырожденной квадратичной формой



(коэффициенты такой "метрики", допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

ds2= dx 2+ dy 2+ dz 2— dt 2

где х, у, z — пространственные координаты, t — время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчета являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всем многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

  Другой путь обобщения Р связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ds (см. Финслерова геометрия), и более общих законов параллельного перенесения, а также с отказом от требований регулярности.

  Лит.: Риман Б., Соч., пер. с нем., М. — Л., 1948; Рашевский П. К., Р и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Р, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Р в целом, пер. с нем., М., 1971.

  А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска

Новости 21.11.2024 14:24:36

     Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.