Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Последовательных приближении метод

Последовательных приближении метод (далее П) метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П применяется для приближенного нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближенного нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f (x) = 0     (1)

составляют ему равносильное х = j(х), обозначив, например, через j(x) разность х — kf (x) (k — постоянное). Выбрав a0 начальное приближение к корню уравнения, составляют последовательность чисел a0, a1 = j(a0), a2 = j(a1), …, an = j(an-1), …; предел а = , если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a0, a1, a2,..., an,... — приближенными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

     (2)

и в качестве начального приближения a0 взято любое число.

  Обычно, когда надо найти приближенное значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всем интервале; за начальное приближение a0 выбирают любое число из этого интервала и применяют П Практически, после того как два последовательных приближения an-1 и an совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают an " а. Пусть дано, например, уравнение f (x) = . Так как , то корень уравнения лежит в интервале . Положив , непосредственной проверкой убеждаемся, что для k =   условие (2) выполняется на всем интервале . Выбирем a0 =  и применим П к уравнению . Получим a1 = 0,554, a2 = 0,570, a3 = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a4 " 0,567).

  2) П применяют для приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

  Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными:

     (3)

  Строят ей эквивалентную систему:

     (4)

полагая, например,



и, пользуясь рекуррентными формулами:

xj = c11xj-1 + c12yj-1 + c13zj-1 + d1

yj = c21xj-1 + c22yj-1 + c23zj-1 + d2

zj = c31xj-1 + c32yj-1 + c33zj-1 + d3

составляют последовательность (x0, у0, z0), (x1, у1, z1),..., (xn, yn, zn),... Если xn ® a, yn ® b, zn ® g при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х = a, у = b, z = g будет решением системы (3). Пределы a, b, g заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x0, у0, z0, если, например, в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов cij меньше единицы.

  3) Для того чтобы найти решение у = у (х) дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию у0 = у (х0), записывают это уравнение в виде



и, пользуясь рекуррентной формулой



составляют последовательность функций y1(x), у2(х),..., yn (x),... Если она равномерно сходится, то предел ее будет искомым решением.

  4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения



выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u0(x, у) и составляют затем линейное уравнение

.

  Пусть u1 (х, у) решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая u1 первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность {un (x, у)} при некоторых предположениях сходится и дает решение задачи.

  О применимости П см. статью Сжатых отображений принцип.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 19.10.2017 02:58:53


23:48 Порошенко отказался встречаться с протестующими у здания Рады депутатами
22:28 В центре Харькова внедорожник сбил 11 человек
01:20 Американка нашла в клубе принца из династии царя Соломона и вышла за него замуж
01:12 Президенты США нашли необычное применение красной кнопке
00:02 Раскрыта тайна гибели Древнего Египта
00:01 Названы самые ужасающие статьи «Википедии»