|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Полугруппа | Полугруппа (далее П), одно из основных понятий современной алгебры. П называется множество с определенной на нем операцией, подчиненной закону ассоциативности. Понятие П есть обобщение понятия группы: из аксиом группы остается лишь одна; этим объясняется и термин "П". Примеры П в математике весьма многочисленны. Это различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции (т. е. содержащие вместе с любыми двумя своими элементами их сумму или, соответственно, произведение), П матриц относительно умножения, П функций относительно операции умножения, П множеств относительно операции пересечения или объединения и т.д. Один из простейших примеров П — множество всех натуральных чисел относительно сложения; эта П является частью (подполугруппой) группы целых чисел по сложению или, как говорят, вложима в группу целых чисел. Следует отметить, что далеко не всякая П вложима в группу.
В общей теории и некоторых приложениях важен следующий пример П Пусть Х — произвольное множество и пусть на множестве x всех конечных последовательностей элементов из Х определена операция *, заданная формулой
(x1,..., xn) * (y1,..., ym) = (x1,..., xn, y1,..., ym).
Тогда x относительно операции * является П; она называется свободной П на множестве X. Всякая П есть гомоморфный образ (см. Гомоморфизм) некоторой свободной П
Всякая совокупность преобразований произвольного множества М, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения), будет П относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества М, называется симметрической П на множестве М. Многие важные совокупности преобразований оказываются П, причем часто они не являются группами. С другой стороны, всякая П изоморфна (см. Изоморфизм) некоторой П преобразований. Таким образом, именно понятие П оказывается наиболее подходящим для изучения в самом общем виде преобразований. В большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории П с другими областями математики, такими, например, как современная дифференциальная геометрия, функциональный анализ, абстрактно-алгебраическая теория автоматов.
Первые исследования, посвященные П, относятся к 20-м гг. 20 в. К концу 50-х гг. теория П сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры и продолжает активно разрабатываться. Изучением абстрактных (т. е. не зависящих от конкретной природы элементов) свойств всевозможных ассоциативных операций занимается т. н. алгебраическая теория П Одна из главных ее задач состоит в описании строения различных П, их классификации. Наложение на полугрупповую операцию тех или иных дополнительных ограничений выделяет ряд важных типов П, среди которых т. н. вполне простые П, инверсные П и др. Заметную часть общей теории составляет теория представлений П преобразованиями и матрицами. Внесение в П дополнительных структур, согласованных с полугрупповой операцией, выделяет особые разделы теории П, таких, как, например, теория топологических П
Лит.: Сушкевич А. К., Теория обобщенных групп, Хар. — К., 1937; Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; Клиффорд А. Х., Престон Г. Б., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; Hofmann К., Mostert ., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966.
Л. Н. Шеврин.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
