Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Положительная логика

Положительная логика (далее П), логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение "А - ложно" есть лишь иная форма выражения "не-А", в П отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приемы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа ù А = dfA (f, где ù - знак отрицания, É - импликация, а f - пропозициональная переменная или какое-либо "допустимое" абсурдное утверждение. П можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.

  Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией.

  Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задается с помощью двух аксиомных схем:

  1. А É (В É A),

  2. (A É (В É С*( É ((А É В) É (А É )

  и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний - добавлением к схемам (1) и (2) следующих:

  3. (А & В) É А,

  4. (A & В) É В,

  5. А É (В É (A & В*(,

  6. (A É С) É (( É С) É ((А Ú В) É *(,

  7. А É (A Ú),

  8. В É (A Ú )

и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В) & (В É А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы

  9. (А É В) É ((А Éù В) É ù А)

или соответствующего ей правила reductio ad absurdum дает минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему

  10. ù А É (А É В)

(противоречие влечет произвольное утверждение) и схему

  11. ù А (А

(исключенного третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.

  Поскольку все законы П имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как "частичные системы". Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые "сами по себе", и "те же" исчисления "внутри" более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.

  Лит.: Черч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расева Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2-6.

  М. М. Новоселов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.12.2017 19:18:08

19:11 Главарь ИГ оказался на свободе
19:08 Появилось видео с лезгинкой от Кокорина
18:57 Создатель биткоина оказался богаче Илона Маска
18:57 Охотник принял туриста за кабана и застрелил его
18:46 Раскрыто неожиданное происхождение Марса
17:48 ТНТ перестарался в желании загладить вину перед ингушами