Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Подстановка

Подстановка (далее П) элементов данного множества (математическая), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом j(а) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя (см. Взаимно однозначное соответствие), однако оно применяется большей частью к конечным множествам. Только этот случай и рассматривается ниже. Для П принята запись

,

здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П не зависят от природы элементов а, b,..., с, то большей частью (во всяком случае — в учебных целях) используют целые числа 1, 2,..., n, при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своем естественном порядке; П принимает вид



или проще

,

где j1, j2,..., jn — те же числа 1, 2,..., n, но записанные, возможно, в каком-либо ином порядке. Т. о., вторая строка П образует перестановку j1, j2,..., jn из чисел 1, 2,..., n. Различных П из n элементов существует столько же, сколько и перестановок, т.е. n! = 1×2×3×...×n. П

,

оставляющая на месте все элементы, называется единичной, или тождественной. Для каждой подстановки А существует обратная, т. е. такая, которая переводит ji в i; она обозначается через А-1. Например,

;

.

  Результат последовательного применения двух подстановок А и В снова будет некоторой подстановкой С: если А переводит i в ji, а В переводит ji в yi, то С переводит i в yi. П С называется произведением подстановок А и В, что записывается так: С = АВ. Например, если

; ,

.

  При умножении П не выполняется закон коммутативности, т. е., вообще говоря, АВ ¹ ВА; так, в том же примере

.

  Легко видеть, что IA = AI = А, АА-1= А-1А = , А (ВС) = (АВ) С (ассоциативный закон). Т. о., все П из n элементов образуют группу, называемую симметрической группой степени n.

  П, переставляющая местами только 2 элемента i и j, называют транспозицией и обозначается так: (i, j), например



  Любую П можно разложить в произведение транспозиций. Число множителей при разложении разными способами данной П в произведение транспозиций всегда будет либо четным, либо нечетным. В соответствии с этим и П называют либо четной, либо нечетной; например, А = (1, 3)(5, 4)(5, 1) — нечетная П Четность П можно определить также по числу инверсий, т. е. по числу нарушений порядка в нижней строке П, если числа верхней строки расположены в их естественном порядке: четность П совпадает с четностью числа инверсий; например, в нижней строке подстановки А имеется 5 инверсий, т. е. случаев, когда большее число стоит раньше меньшего: (3, 2), (3, 1),(2, 1), (5, 1) и (5, 4). Существует n!/2 четных и n!/2 нечетных П из n элементов.

  П, циклически переставляющая данную группу элементов, а остальные элементы оставляющая на месте, называется циклом. Число переставляемых элементов называют длиной цикла. Например, подстановка А есть цикл длины 4: она переводит 1 в 3, 3 в 5, 5 в 4, 4 в1; коротко это записывается так: А = (1, 3, 5, 4). Транспозиция есть цикл длины 2. Любую П можно разложить в произведение независимых (т. е. не имеющих общих элементов) циклов. Например,



  Термин "П" в интегральном исчислении означает замену переменной в подынтегральной функции.

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М. — Л., 1971.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 19.08.2017 10:11:30


09:25 Число пострадавших от нападения в Финляндии выросло до 10
08:48 На севере Москвы трамвай насмерть сбил пешехода
07:55 Американский суд отказался закрыть дело против Романа Полански
06:58 Армия Ливана объявила о начале наступления на позиции террористов ИГ
06:20 В Барселоне разогнали митинг противников исламизации Европы
04:57 СМИ рассказали о встречах зятя Трампа и Романа Абрамовича