Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Поверхностный интеграл

Поверхностный интеграл (далее П), интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К П приводит, например, задача вычисления массы, распределенной по поверхности с переменной поверхностной плотностью f (M). Для этого разбивают поверхность на части s1, s2,..., sn и выбирают в каждой из них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны f (Mi) si, а масса всей поверхности будет равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части si. Поэтому точное значение массы поверхности есть

,

где предел берется при условии, что размеры всех частей si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют П первого рода от функции f (M) по поверхности и обозначают

.

  Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. Кратный интеграл).

  В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность , встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берется со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют П второго рода (или П по проекциям) и обозначают

.

  В отличие от П первого рода, знак П второго рода зависит от ориентации поверхности .

  М. В. Остроградский установил важную формулу, связывающую П второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по ограниченному ею объему (см. Остроградского формула). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объеме выполняется тождество

,

то П второго рода по всем поверхностям, содержащимся в и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции 1, Q1, R1, что

, , .

  Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.

  Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 21.08.2017 11:31:51


11:25 Юрий Шевчук обругал критиков Эллы Памфиловой
11:18 Три трупа обнаружили в Москве за последние сутки
11:18 Российский подросток погиб во время отдыха в Испании
10:59 Вор из Арканзаса увез банкомат на погрузчике
10:51 На Украине продолжили пользоваться «Яндексом» и «ВКонтакте» без Tor и VPN
10:46 Названа самая непопулярная среди туристов страна мира