Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка (далее П), поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0     (*)

  Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведенных ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определенный класс П Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,

  1) эллипсоиды

 — эллипсоиды,

 — мнимые эллипсоиды;

  2) гиперболоиды:

 — однополостные гиперболоиды,

 — двуполостные гиперболоиды;

  3) параболоиды (p > 0, q > 0):

 — эллиптические параболоиды,

  — гиперболические параболоиды;

  4) конусы второго порядка:

 — конусы,

 — мнимые конусы;

  5) цилиндры второго порядка:

 — эллиптические цилиндры,

 — мнимые эллиптические цилиндры,

 — гиперболические цилиндры,

 — параболические цилиндры.

  Перечисленные П относятся к т. н. нераспадающимся П; распадающиеся П:

 — пары пересекающихся плоскостей,

  пары мнимых пересекающихся плоскостей,

х2 = а2 — пары параллельных плоскостей,

х2 = —а2 — пары мнимых параллельных плоскостей,

х2 = 0 — пары совпадающих плоскостей.

  При исследовании общего уравнения П важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если

 (aij  = ajii),

то уравнение (*) определяет вырожденные П: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся П; если определитель

,

то поверхность имеет единственный центр симметрии (центр П) и называется центральной поверхностью. Если d = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.

  Для П установлена аффинная и проективная классификация. Две П считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы П). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения П Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами П Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удаленных элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу П

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1971; Ефимов Н. В., Квадратичные формы и матрицы, 5 изд., М., 1972.

  А. Б. Иванов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.08.2017 06:19:55


06:08 Определены самые бюджетные направления для учебы за рубежом
04:49 Суд Венесуэлы выдал ордер на арест супруга бывшего генпрокурора
03:17 В каталонском городе убиты пытавшиеся повторить барселонскую атаку террористы
02:28 В Испании объявлен трехдневный траур в связи с терактом в Барселоне
01:35 В каталонском Альканаре прогремел второй за сутки взрыв
00:29 Полиция Каталонии рассказала о происхождении задержанных в связи с терактом