|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Периодическая функция | Периодическая функция (далее П) функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определенного, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П с периодом 2p; {x} — дробная часть числа х — П с периодом 1; показательная функция ex (если х — комплексное переменное) — П с периодом 2pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П имеет бесконечное множество периодов. Если П имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для нее существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное П с одним и тем же периодом являются П с тем же периодом. Производная П есть П с тем же периодом, однако интеграл от П f (x) с периодом Т будет П (с тем же периодом) лишь в том случае, когда  . Фундаментальная теорема теории П утверждает, что П f (x) с периодом Т (подчиненная еще некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T) лишь конечное число максимумов и минимумов) может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:
 ;
коэффициенты этого ряда выражаются через f (x) по формулам Эйлера — Фурье (см. Тригонометрические ряды, Фурье коэффициенты).
Для непрерывной П комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T1 и T2, отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий ее период будет иметь вид k1T1 + k2T2, где k1 = 0,±1, ±2,... и k2 = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П называется двоякопериодической функцией. Рассматриваются еще двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель (то есть f (x + T1) = a1f (x) и f (x + T2) = a2f (x) или f (x + T1) =  и f (x + T2) -= ea2x f (x)).
Сумма П с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы (напр., cos х + cos ) не есть П); однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций. П играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
