Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Ошибок теория

Ошибок теория (далее О) раздел математической статистики, посвященный построению уточненных выводов о численных значениях приближенно измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки все время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определенных причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчета, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.

  О занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

  Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x1, x2,..., xn. Разности

d1 = x1 — a,…, dn = xn — a

  называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О все di трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d1,..., dn. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределенность: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределенные случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Ed1 =...= Еdn называется систематической ошибкой, а разности d1 b,..., dn b — случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0, и в этой ситуации d1,..., dn суть случайные ошибки. Величину , где а — квадратичное отклонение, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением  . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений

,

  а разности D1 = x1 ,..., Dn = xn  называются кажущимися ошибками. Выбор  в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишенных систематической ошибки, оценка  с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон); оценка  лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть

  D = E ( — а)2 = s2/n.

  Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки di подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина  имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s2/n. Если распределения di в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы, не меньше D. Если же распределение di отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

  Если дисперсия s2 отдельных измерений заранее известна, то для ее оценки пользуются величиной



  (Es2 = s2, т. е. s2 несмещенная оценка для s2), если случайные ошибки di имеют нормальное распределение, то отношение



  подчиняется Стьюдента распределению с n 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближенного равенства а "  (см. Наименьших квадратов метод).

  Величина (n — 1) s2/s2 при тех же предположениях имеет распределение c2 (см. "Хи-квадрат" распределение) с n 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближенного равенства s " s. Можно показать, что относительная погрешность |s — s|Is не будет превышать числа q с вероятностью

  w = (z2, n — 1)(z1, n — 1),

  где (z, n — 1) — функция распределения c2,

, .

  Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

  Л. Н. Большев.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 22.10.2017 23:51:32


23:43 Саакашвили потребовал ликвидировать СБУ и «барыжную гвардию»
22:11 Депутата Верховной Рады от партии Ляшко избили из-за французского бульдога
21:54 Захватившего заложников в британском Нанитоне обезвредила полиция
21:32 В Дубае прикоснувшегося к мужскому бедру шотландца отправили в тюрьму
20:43 Бразильский футболист обиделся на брошенное украинкой «черная обезьяна»
20:22 Пожар на хозяйственном рынке под Ростовом-на-Дону потушен