Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Особая точка

Особая точка (далее О) в математике.

  1) О кривой, заданной уравнением (x, у) = 0, - точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции (x, у) обращаются в нуль:

 

  Если при этом не все вторые частные производные функции (x, у) в точке М0 равны нулю, то О называют двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке М0 обращаются в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю, то О называется тройной, и т.д. При исследовании строения кривой вблизи двойной О важную роль играет знак выражения



  Если D > 0, то О называется изолированной; например, у кривой у 2 - х 4 + 4x 2 = 0 начало координат есть изолированная О (см. рис. 1). Если D < 0, то О называется узловой, или точкой самопересечения; например, у кривой (x 2 + y 2 + a2)2 - 4a 2x 2 - a 4 = 0 начало координат есть узловая О (см. рис. 2). Если D = 0, то О кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, например: а) точка возврата 1-го рода - различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и образуют острие, как у кривой у 2 - х 3 = 0 (см. рис. 3, a); б) точка возврата 2-го рода - различные ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой (у - x 2)2 - х 5 = 0 (см. рис. 3, б); в) точка самоприкосновения (для кривой у 2 - х 4 = 0 начало координат является точкой самоприкосновения; (см. рис. 3, в). Наряду с указанными О имеется много других О со специальными названиями; например, асимптотическая точка - вершина спирали с бесконечным числом витков (см. рис. 4), точка прекращения, угловая точка и т.д.

  Лит. см. при ст. Дифференциальная геометрия.

  2) О дифференциального уравнения - точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения

, (1)

где Р и Q - непрерывно дифференцируемые функции. Предполагая О расположенной в начале координат и используя Тейлора формулу, можно представить уравнение (1) в виде

 ,

где 1(x, у) и Q1(x, у)- бесконечно малые по отношению к  Характер поведения интегральных кривых около О зависит от корней l1 и l2 характеристического уравнения

.

  Именно, если l1 ¹ l2 и l1l2 > 0 или l1 = l2, то О есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если l1 ¹ l2 и l1l2 < 0, то О есть седло; в окрестности седла четыре интегральные кривые (сепаратрисы) входят в О, а между ними располагаются интегральные кривые типа гипербол. Если l1,2 = a ± i b, a ¹ 0 и b ¹ 0, то О есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, l1,2 = ± i b, b ¹ 0, то характер О не определяется одними линейными членами в разложениях Р (х, у) и Q (x, у), как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь О может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя. Так, например, точка (0, 0) является узлом для уравнений у " = 2у/х (l1 = 1, l2 = 2; см. рис. 5, а) и y " = у/х (l1 = l2 = 1; см. рис. 5, б), седлом для уравнения у" = -у/х (l1 = -1, l2 = 1; см. рис. 6), фокусом для уравнения у" = (х + у) / (х - у) (l1 = 1 - i, l2 = 1 + i; см. рис. 7) и центром для уравнения у" = -x / y (l1 = -i, l2 = i; см. рис. 8).

  Если , то О называют особой точкой высшего порядка. О высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае, когда функции Р (х, у) и Q (х, у) аналитические, окрестность О высшего порядка может распадаться на области: D1 - заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в О (эллиптические области), D2 - заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в О (параболические области), и D3 - области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в О, между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболические области) (см. рис. 9). Если нет интегральных кривых, входящих в О, то О называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой О состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих О внутри себя, между которыми расположены спирали (см. рис. 10).

  Изучение О дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности О, составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения (работы А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и др.).

  Лит. см. при ст. Дифференциальные уравнения.

  3) О однозначной аналитической функции - точка, в которой нарушается аналитичность функции (см. Аналитические функции). Если существует окрестность О a, свободная от других О, то точку а называют изолированной О Если а - изолированная О и существует конечный , то a называют устранимой О Путем надлежащего изменения определения функции в точке а (или доопределения ее в этой точке, если функция в ней вообще не определена), именно, полагая f (a) = b, можно добиться того, что a станет обыкновенной точкой исправленной функции. Например, точка z = 0 является устранимой О для функции , так как ; для функции f 1(z) = f (z), если z ¹ 0, и f1(0), = 1, точка z = 0 является обыкновенной точкой (f 1(z) аналитична в точке z = 0). Если а - изолированная О и , то а называют полюсом или несущественно особой точкой функции f (z), если же  не существует, то существенно особой точкой. Ряд Лорана (см. Лорана ряд) функции f (z) в окрестности изолированной О не содержит отрицательных степеней z - а, если а - устранимая О, содержит конечное число отрицательных степеней z - а, если а - полюс (при этом порядок полюса р определяется как наивысшая степень , встречающаяся в ряде Лорана), и содержит как угодно высокие степени , если а - существенно особая точка. Например, для функции

    (p = 2, 3, …)

точка z = 0 является полюсом порядка р, для функции



точка z = 0 является существенно особой точкой.

  На границе круга сходимости степенного ряда должна находиться по крайней мере одна О функции, представляемой внутри этого круга данным степенным рядом. Все граничные точки области существования однозначной аналитической функции (естественной границы) являются О этой функции. Так, все точки единичного круга | z | = 1 являются особыми для функции

.

  Для многозначной аналитической функции понятие "О" более сложно. Помимо О, в отдельных листах римановой поверхности функции (то есть О однозначных аналитических элементов) всякая точка ветвления также является О функции. Изолированные точки ветвления римановой поверхности (то есть такие точки ветвления, что в некоторой их окрестности ни в одном листе нет других О функции) классифицируются следующим образом. Если а - изолированная точка ветвления конечного порядка и существует конечный , то О называют обыкновенной критической точкой; если же , то а называют критическим полюсом. Если а - изолированная точка ветвления бесконечного порядка и  существует (конечный или бесконечный), то а называют трансцендентной О Все остальные изолированные точки ветвления называют критическими существенно особыми точками. Примеры: точка z = 0 является обыкновенной критической точкой функции , критическим полюсом функции , трансцендентной О функции f (z) = ln z и критической существенно особой точкой функции f (z) = sin ln z.

  Всякая О, кроме устранимой, является препятствием при аналитическом продолжении, т. е. аналитическое продолжение вдоль кривой, проходящей через неустранимую О, невозможно.

  Лит. см. при ст. Аналитические функции.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 07.03.2021 02:15:34
02:14 Москвичей предупредили о сильном снегопаде
01:38 Оценены шансы Украины стать членом НАТО
02:02 Раскрыты предпочтения людей в алкоголе во время пандемии
01:42 Пьяные россияне попытались угнать машину скорой помощи и избили водителя
01:20 Власти Петербурга оценили темпы распространения коронавируса
00:58 Участник российского «Голоса» представит Эстонию на «Евровидении»
00:42 Елизавете II придется делить самолет с премьером
00:26 Норвежский лыжник признался в сговоре с финном против российского соперника
22:46, 6 марта 2021 Гематолог рассказала о связи между группой крови и раком
Больше новостей
Сегодня Цвет войныОккупированная Украина глазами гитлеровских солдат. Редкие снимки времен Второй мировой
СегодняЦенности «Она стала самой известной женщиной в стране»Как советская революционерка влюбляла в себя чиновников и отчаянно боролась за права женщин
СегодняИз жизни Многоженец-феминистКак один мужчина смог завести пять жен и 25 детей и при этом сохранить любовь в семье?
21:15, 6 марта 2021 Река Обь взорвалась и загорелась
00:18 Суперуниверсал Porsche Taycan Cross Turismo оценили в рублях
00:28 Федеральное казначейство России решило провести фестиваль патриотического рэпа
СегодняБывший СССР «Преемник — свой человек»Самую закрытую страну бывшего СССР ждут большие перемены. Глава Туркмении готовится передать власть
6 марта 2021Россия «Терпи, не визжи! Ножки раздвигать приятно было?»Беседы со священниками, угрозы и унижения: как проводят аборты по ОМС в России
19:07, 6 марта 2021 Доктор Мясников рассказал об опоясывающем его лишае
00:16 Уникальный цвет-хамелеон обошелся владельцу Porsche в 99 тысяч долларов
00:23 УАЗ подвел итоги 2020 года: 30% машин проданы государству
6 марта 2021Мир «Противостояние было неизбежным»75 лет назад Черчилль объявил СССР холодную войну. Готов ли Запад снова опустить железный занавес?
3 марта 2021Россия «Мне казалось, что на всем свете я одна такая»Россиянка лишилась лица из-за пожара. Она провела жизнь в нищете и ненависти, но не сдалась
00:07 Православные Кипра вышли на улицы из-за «сатанинской» песни для Евровидения
18:15, 6 марта 2021 Жириновский дал Зеленскому совет после увольнения Саакашвили
00:19 Представлен сейфти-кар Формулы-1 — впервые за 25 лет это не «Мерседес»
5 марта 2021Россия «Ельцин продул бы с разгромным счетом»Глеб Павловский — о выборах 1996 года, поиске преемника Ельцина и испорченных отношениях с Украиной
6 марта 2021Культура Я так вижнВедьмы, смех и чертовщина: каким вышел супергеройский сериал Marvel «Ванда/Вижн»
23:42, 6 марта 2021 Смертельное ДТП с автобусом и двумя фурами произошло под Уфой
16:49, 6 марта 2021 Умер известный литературный критик Валентин Курбатов
00:17 Вучич предупредил об усилении давления Запада на Сербию
4 марта 2021Ценности «Это женский инстинкт самосохранения»Россиянки идут в эскорт в погоне за роскошной жизнью. Чем они рискуют и чего боятся?
6 марта 2021Культура Порно с «Медведем»Румынский секс-скандал, колесо фортуны и каратели под Брянском: кто победил на Берлинском фестивале
23:06, 6 марта 2021 Девушка стала следователем и добилась задержания убийц отца спустя 23 года
23:25, 6 марта 2021 Москвич убил топором сожителя своей дочери и покончил с собой
22:46, 6 марта 2021 Сенат США утвердил план Байдена по спасению экономики
4 марта 2021Из жизни «Одним утром я проснулась и поняла: блин, а я не в кино»История россиянки, которая переехала в Милан за любовью и нашла дело всей жизни
6 марта 2021Силовые структуры «Надо идти на фронт, а то война без нас кончится»Как советский артиллерист стал лучшим истребителем «Тигров» и получил награды от Рузвельта и Сталина
23:12, 6 марта 2021 Тутберидзе назвала условие возвращения Косторной
22:11, 6 марта 2021 Косторная объявила о возвращении к Тутберидзе и объяснила уход от Плющенко
23:11, 6 марта 2021 Стало известно о возможных виновниках взрыва и пожара на Оби
2 марта 2021Россия «Миллион на операцию мне самой не заработать»Только срочная операция вернет Сашу к нормальной жизни. Ей нужна ваша помощь
6 марта 2021Интернет и СМИ Группа захватаКак в мире противостоят огромным технологическим компаниям, захватившим контроль над пользователями
22:03, 6 марта 2021 Москвичей предупредили о метели и гололедице
22:22, 6 марта 2021 На российском нефтезаводе произошел пожар
22:02, 6 марта 2021 Европейской стране пришлось отправлять больных COVID-19 к соседям
5 марта 2021Культура Биполярные ночиБог порошков, депрессия Земфиры и отцы стадионного рока: главная музыка месяца
5 марта 2021Силовые структуры «Мне показалось, что она уже мeртва»Смерть женщины при родах потрясла российский город. Почему в трагедии обвинили врача?
22:19, 6 марта 2021 Путин выразил соболезнования в связи со смертью литературного критика Курбатова
21:22, 6 марта 2021 Академия Плющенко потребовала у Косторной компенсацию за уход к Тутберидзе
21:40, 6 марта 2021 Греция продлила разрешение на въезд для россиян
6 марта 2021 Кабрио-Гелик: мечта диктатораВидео: самый дорогой G-Class без крыши — кому нужен удлиненный внедорожный лимузин?
5 марта 2021Спорт «Ей надо на всю страну извиниться»Косторная уходила от Тутберидзе со скандалом, а теперь возвращается. Чего ей не хватило у Плющенко?
21:33, 6 марта 2021 Пожар на Оби сняли на видео
21:19, 6 марта 2021 Москвичей предупредили о метели и барическом дне
20:20, 6 марта 2021 Подруга раскрыла подробности попытки самоубийства жены Мамаева
4 марта 2021 «Это больше чем просто синяки на коже»Последствия коронавируса, войн и ошибок власти — в объективах лучших фотографов мира
4 марта 2021Мир «Есть вещи, которые нельзя совершать даже принцу»Саудовский принц нажил много врагов на пути к престолу. Теперь его обвиняют в убийстве одного из них
21:29, 6 марта 2021 В результате взрыва на реке Оби пострадал человек
21:08, 6 марта 2021 Мурашко и глава ВОЗ обсудили применение вакцины «Спутник V»
20:00, 6 марта 2021 Глава ДНР заподозрил Киев в подготовке к новой войне в Донбассе
2 марта 2021Экономика Найдется всеВ России объявили войну неплательщикам налогов. Теперь россияне заплатят даже за чужие долги
3 марта 2021Путешествия Русский город любви Казаки возвели русский Париж с Эйфелевой башней на Урале. Зачем туда ехать туристам?
19:53, 6 марта 2021 В Европе призвали использовать «Северный поток-2» для давления на Россию
20:36, 6 марта 2021 Доктор Комаровский назвал Украину слаборазвитой страной
20:31, 6 марта 2021 Эксперт объяснил сокрытие материалов по делу сбитого «Боинга» MH17
24 февраля 2021 Партнерский материал«Ты захочешь остаться здесь навсегда»Зумер-небоскреб, любимое место Тимати и цифровой квартал: чем поражает премиальное московское жилье
5 марта 2021 JAC S7: китайский кроссовер, который нарисовал бывший дизайнер MaseratiНовинка появилась в России и стоит от 1 449 900 рублей
19:18, 6 марта 2021 Художник за сутки получил полтора миллиона рублей за популярный мем
18:40, 6 марта 2021 Володин призвал депутатов не пугать россиян повышением пенсионного возраста
19:26, 6 марта 2021 Мадуро привился российской вакциной от коронавируса
3 марта 2021Дом «У меня начались панические атаки»История российской семьи, которая купила квартиру и оказалась на улице
3 марта 2021Культура Воспитание чувствУчительница-порнозвезда, полицейский-убийца и брошенный дом: что показали на Берлинском фестивале
18:07, 6 марта 2021 Доктор Мясников назвал неочевидный симптом смертельной болезни у женщин
19:01, 6 марта 2021 Российские биатлонисты остались без медалей в спринте Кубка мира
18:48, 6 марта 2021 Остатки бункера скопинского маньяка для его жертв показали на видео
3 марта 2021 «Мы совершили все возможные ошибки»Все больше армян присоединяются к военным, требуя отставки Пашиняна. Почему он не намерен уходить?
3 марта 2021Силовые структуры «На меня смотрело какое-то жуткое существо»На свободу вышел Скопинский маньяк. Школьница рассказала, как была секс-рабыней в его бункере
18:01, 6 марта 2021 «Нафтогаз» не признал вину перед оставшимися без тепла украинцами
17:47, 6 марта 2021 Кокорин получил травму и вновь стал объектом нападок итальянцев
18:00, 6 марта 2021 Jaguar Land Rover отказался от выпуска ещё пары новых моделей
2 марта 2021Ценности «Почему я не сделала этого раньше?»Канье Уэст и Ким Кардашьян разводятся после семи лет брака. Как они будут делить нажитые миллионы?
17:30, 6 марта 2021 «Арсенал» потерял очки в игре с аутсайдером АПЛ
17:08, 6 марта 2021 Один из лидеров Евромайдана назвал свою версию потери Крыма
16:59, 6 марта 2021 В Москве экстремалы прыгнули с парашютом с 52-го этажа
17:26, 6 марта 2021 В Омске на шедших с корпоратива работниц завода рухнул бетонный забор
16:18, 6 марта 2021 Телефонный мошенник раскрыл секретную схему обмана россиян