Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Особая точка

Особая точка (далее О) в математике.

  1) О кривой, заданной уравнением (x, у) = 0, - точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции (x, у) обращаются в нуль:

 

  Если при этом не все вторые частные производные функции (x, у) в точке М0 равны нулю, то О называют двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке М0 обращаются в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю, то О называется тройной, и т.д. При исследовании строения кривой вблизи двойной О важную роль играет знак выражения



  Если D > 0, то О называется изолированной; например, у кривой у 2 - х 4 + 4x 2 = 0 начало координат есть изолированная О (см. рис. 1). Если D < 0, то О называется узловой, или точкой самопересечения; например, у кривой (x 2 + y 2 + a2)2 - 4a 2x 2 - a 4 = 0 начало координат есть узловая О (см. рис. 2). Если D = 0, то О кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, например: а) точка возврата 1-го рода - различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и образуют острие, как у кривой у 2 - х 3 = 0 (см. рис. 3, a); б) точка возврата 2-го рода - различные ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой (у - x 2)2 - х 5 = 0 (см. рис. 3, б); в) точка самоприкосновения (для кривой у 2 - х 4 = 0 начало координат является точкой самоприкосновения; (см. рис. 3, в). Наряду с указанными О имеется много других О со специальными названиями; например, асимптотическая точка - вершина спирали с бесконечным числом витков (см. рис. 4), точка прекращения, угловая точка и т.д.

  Лит. см. при ст. Дифференциальная геометрия.

  2) О дифференциального уравнения - точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения

, (1)

где Р и Q - непрерывно дифференцируемые функции. Предполагая О расположенной в начале координат и используя Тейлора формулу, можно представить уравнение (1) в виде

 ,

где 1(x, у) и Q1(x, у)- бесконечно малые по отношению к  Характер поведения интегральных кривых около О зависит от корней l1 и l2 характеристического уравнения

.

  Именно, если l1 ¹ l2 и l1l2 > 0 или l1 = l2, то О есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если l1 ¹ l2 и l1l2 < 0, то О есть седло; в окрестности седла четыре интегральные кривые (сепаратрисы) входят в О, а между ними располагаются интегральные кривые типа гипербол. Если l1,2 = a ± i b, a ¹ 0 и b ¹ 0, то О есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, l1,2 = ± i b, b ¹ 0, то характер О не определяется одними линейными членами в разложениях Р (х, у) и Q (x, у), как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь О может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя. Так, например, точка (0, 0) является узлом для уравнений у " = 2у/х (l1 = 1, l2 = 2; см. рис. 5, а) и y " = у/х (l1 = l2 = 1; см. рис. 5, б), седлом для уравнения у" = -у/х (l1 = -1, l2 = 1; см. рис. 6), фокусом для уравнения у" = (х + у) / (х - у) (l1 = 1 - i, l2 = 1 + i; см. рис. 7) и центром для уравнения у" = -x / y (l1 = -i, l2 = i; см. рис. 8).

  Если , то О называют особой точкой высшего порядка. О высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае, когда функции Р (х, у) и Q (х, у) аналитические, окрестность О высшего порядка может распадаться на области: D1 - заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в О (эллиптические области), D2 - заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в О (параболические области), и D3 - области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в О, между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболические области) (см. рис. 9). Если нет интегральных кривых, входящих в О, то О называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой О состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих О внутри себя, между которыми расположены спирали (см. рис. 10).

  Изучение О дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности О, составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения (работы А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и др.).

  Лит. см. при ст. Дифференциальные уравнения.

  3) О однозначной аналитической функции - точка, в которой нарушается аналитичность функции (см. Аналитические функции). Если существует окрестность О a, свободная от других О, то точку а называют изолированной О Если а - изолированная О и существует конечный , то a называют устранимой О Путем надлежащего изменения определения функции в точке а (или доопределения ее в этой точке, если функция в ней вообще не определена), именно, полагая f (a) = b, можно добиться того, что a станет обыкновенной точкой исправленной функции. Например, точка z = 0 является устранимой О для функции , так как ; для функции f 1(z) = f (z), если z ¹ 0, и f1(0), = 1, точка z = 0 является обыкновенной точкой (f 1(z) аналитична в точке z = 0). Если а - изолированная О и , то а называют полюсом или несущественно особой точкой функции f (z), если же  не существует, то существенно особой точкой. Ряд Лорана (см. Лорана ряд) функции f (z) в окрестности изолированной О не содержит отрицательных степеней z - а, если а - устранимая О, содержит конечное число отрицательных степеней z - а, если а - полюс (при этом порядок полюса р определяется как наивысшая степень , встречающаяся в ряде Лорана), и содержит как угодно высокие степени , если а - существенно особая точка. Например, для функции

    (p = 2, 3, …)

точка z = 0 является полюсом порядка р, для функции



точка z = 0 является существенно особой точкой.

  На границе круга сходимости степенного ряда должна находиться по крайней мере одна О функции, представляемой внутри этого круга данным степенным рядом. Все граничные точки области существования однозначной аналитической функции (естественной границы) являются О этой функции. Так, все точки единичного круга | z | = 1 являются особыми для функции

.

  Для многозначной аналитической функции понятие "О" более сложно. Помимо О, в отдельных листах римановой поверхности функции (то есть О однозначных аналитических элементов) всякая точка ветвления также является О функции. Изолированные точки ветвления римановой поверхности (то есть такие точки ветвления, что в некоторой их окрестности ни в одном листе нет других О функции) классифицируются следующим образом. Если а - изолированная точка ветвления конечного порядка и существует конечный , то О называют обыкновенной критической точкой; если же , то а называют критическим полюсом. Если а - изолированная точка ветвления бесконечного порядка и  существует (конечный или бесконечный), то а называют трансцендентной О Все остальные изолированные точки ветвления называют критическими существенно особыми точками. Примеры: точка z = 0 является обыкновенной критической точкой функции , критическим полюсом функции , трансцендентной О функции f (z) = ln z и критической существенно особой точкой функции f (z) = sin ln z.

  Всякая О, кроме устранимой, является препятствием при аналитическом продолжении, т. е. аналитическое продолжение вдоль кривой, проходящей через неустранимую О, невозможно.

  Лит. см. при ст. Аналитические функции.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 03.12.2021 16:17:21
16:11 Умерла актриса Нина Ургант
16:04 В России подготовили проект о дистанционном назначении пенсий
16:04 Российский вирусолог оценил сведения о смертности от омикрон-штамма
16:02 Россиянам рассказали о влиянии переизбытка витаминов на онкологию
15:59 Путин поручил разработать план по борьбе с омикрон-штаммом
15:54 Московские строители спасли запутавшегося в страховке коллегу и попали на видео
15:50 Роскомнадзор назвал сумму штрафов для Meta, Google и TikTok в 2021 году
15:47 Рогозин оценил военные спутники России
15:42 Врач рассказала про симптомы легкой формы COVID-19 у привитых
Больше новостей
СегодняБывший СССР «Украина вечно стреляет себе в ногу» Чем обернется для украинцев очередное обострение конфликта между Москвой и Киевом?
СегодняРоссия «Может начаться исход врачей» Почему российские медики боятся за свою свободу: Леонид Рошаль о новом «деле врачей»
СегодняИз жизни «Это сродни охоте» Российский антиквар — о сокровищах за миллионы, пропадающих на чердаках и помойках
15:27 «История русской поп-музыки» собрала миллионы просмотров во «ВКонтакте»
15:46 Обвиненному в шпионаже на Россию британцу пригрозили экстрадицией
15:37 В Азербайджане сообщили об инциденте в Карабахе
2 декабря 2021Россия «Зря вы шахтеров ищете. Они умерли» Как и почему 51 человек погиб в «Листвяжной». Репортаж с места трагедии
СегодняКультура 10 лучших книг зимы: Великая эпидемия, эротика еды и Квентин Тарантино
15:43 Лукашенко рассказал о беспрецедентном давлении
14:06 Собчак сравнили с Тимошенко из-за новой прически
15:37 Российский водитель добил монтировкой сбитую на дороге косулю и попал на видео
СегодняНаука и техника Маск против Безоса: как богатейшие бизнесмены планеты конкурируют за космос
2 декабря 2021Экономика Новый порядок. Войны, власть женщин и путь к вечной жизни — самый невероятный экономический прогноз на 2022 год
15:36 Стилисты предрекли шесть модных трендов 2022 года
13:47 «Дюну» признали лучшим фильмом года
15:33 Адвокат сообщил о «существующих только на бумаге» убийствах в деле Тесака
2 декабря 2021Культура Он вам не омикрон. Оксимирон выпустил альбом «Красота и Уродство». На нем рэпер зачитал обо всем
1 декабря 2021Россия «Есть повод для паники» Чем опасен новый штамм коронавируса и что ждать от омикрона россиянам? Отвечает биолог
15:30 Популярный среди богачей курорт открыл границы для вакцинированных россиян
15:31 В Госдуме пообещали вооружить Донбасс
13:08 Для Арктики разработали новую полярную экипировку
2 декабря 2021Путешествия «Мы были мишенью» Россияне путешествуют в Афганистан и подвергают свою жизнь опасности. Что ими движет?
30 ноября 2021Из жизни Порно с принцессой, фальшивый сын и потерянные миллионы. Как теории заговора помогают королевской семье травить неугодных
15:25 Врач назвала основные противопоказания к вакцинации против COVID-19
15:29 Воробьев вручил ключи от квартир обманутым дольщикам «Лобня Сити»
15:17 Раскрыты обстоятельства стрельбы в центре Москвы
2 декабря 2021Силовые структуры Майор Скорость. Как российский полицейский устал бороться с наркодилерами и сам начал продавать амфетамин в даркнете
2 декабря 2021Культура Снова к нам приходят. Возвращение «Звездных войн», «Ведьмака» и «Секса в большом городе» в лучших сериалах декабря
15:28 Сериал «История русской поп-музыки» собрал десятки миллионов просмотров
15:15 Пожилым россиянам назвали способ защититься от заражения омикрон-штаммом
15:19 Погибшему главе МЧС установят памятник в Москве
1 декабря 2021Моя страна «Наши гусли есть даже у Metallica» Как крохотная российская деревня стала мировым центром производства гуслей
30 ноября 2021Среда обитания «Мир еще не сталкивался с исчезновением страны из-за климата» Министр тонущего государства — о жизни по колено в воде
15:14 Материалы «Радио Свобода — Беларусь» признали экстремистскими в Белоруссии
15:18 Украина построит две военно-морские базы
15:11 Женщина удалила силиконовую грудь и стала боксером
2 декабря 2021Россия Жизнь после COVID-19. Россиянам, переболевшим коронавирусной инфекцией, рекомендована медицинская реабилитация
2 декабря 2021Россия «Дрались с заезжими болельщиками и играли в хоккей» Послевоенная Капотня в воспоминаниях ее старожилов
15:16 Путин высказался о работе закона об иноагентах
15:11 Меркель уйдет с поста 8 декабря
15:12 В Госдуме допустили поставки оружия республикам Донбасса в случае обострения
Сегодня Видео: новый Range Rover за 10 минут Главный внедорожник Британии: только факты и никаких оценок
СегодняЭкономика Партнерский материалИнфоресурс для инвесторов. Информация обо всех инвестициях в Россию — на одном сайте
15:05 Роскомнадзор разблокировал сайт популярного в России интернет-магазина
15:12 Белоруссия ответила США на запрет доступа к доллару
15:05 Свидетель описал пострадавшего при стрельбе в центре Москвы
1 декабря 2021Ценности «Это похоже на рай» Как появилась БДСМ-атрибутика и почему одежда фетишистов стала главным модным трендом года?
1 декабря 2021Мир Министерство дружбы. Россия пытается найти новых союзников. Почему пока это трудно сделать без военной помощи и кредитов?
15:11 Проамериканские боевики устроили бойню на турецкой базе в Сирии
14:59 QR-коды о вакцинации из ЛНР заработают в России
14:56 В пермском вузе передумали взыскивать деньги с устроившего стрельбу студента
30 ноября 2021Спорт Лионель Месси в седьмой раз выиграл «Золотой мяч». В гонке за трофей он обошел Криштиану Роналду и Роберта Левандовски
2 декабря 2021 Они пытались «убить» Логан, Поло и Солярис. Но не смогли и исчезли Какие машины пытались конкурировать с бестселлерами
15:10 Machine Gun Kelly попытался впечатлить Меган Фокс и воткнул в себя нож
15:06 В Белоруссии пообещали скорые санкции против Запада
14:50 В Москве заболеваемость COVID-19 снизилась вдвое
1 декабря 202169-я параллель В Якутии решили клонировать мамонтов. Удастся ли ученым заселить Арктику древними животными?
1 декабря 2021Россия Что изменится в жизни россиян с 1 декабря. Главное о блокировке сим-карт, пенсиях и открытии границ
14:43 В Совете Федерации заявили о готовности России к военным провокациям Киева
15:05 В США десятки детей привили просроченной вакциной от коронавируса
14:55 Модный дом Valentino купил рекламу у кота из Харькова
30 ноября 2021Культура Жизнь насекомых. Режиссер «Властелина колец» снял восьмичасовой сериал о The Beatles. Зачем его смотреть?
30 ноября 2021Россия «Рожают в наручниках» Унижение, побои и вымогательство: как устроено насилие в женских колониях России
14:41 Назван лидер среди российских регионов по коллективному иммунитету к COVID-19
14:38 Голикова назвала уровень коллективного иммунитета в России
14:49 Названы преимущества модернизированной ракеты «Хризантема»
1 декабря 2021Наука и техника Детское время. Huawei представила умные часы для юных пользователей
1 декабря 202169-я параллель Очевидное невероятное. Попробуйте отгадать загадки народов России. Сложный тест
14:52 Россиянам дали советы по аренде дома для празднования Нового года
14:31 Президент Киргизии заявил о готовности уйти в отставку
14:30 Экс-директор «Уральских пельменей» ответил на критику шоу за несмешные номера
1 декабря 2021Бывший СССР Дошли до ядра. Как Казахстан стал донором атомной энергии в Евразии
14:45 Минск заявил о тщетных усилиях Запада поставить на колени неугодные народы
14:44 Названа худшая валюта
14:29 На киргизского политика напали оппоненты и отобрали у него телефон
14:27 Российского генерала Генштаба отдадут под суд за аферы на 6,5 миллиарда рублей