|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Ортогональные многочлены | Ортогональные многочлены (далее О)специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке (а, b ) (см. Ортогональная система функций). Нормированная система Ортогональные многочлены обозначается через  , а система Ортогональные многочлены, старшие коэффициенты которых равны 1,— через  . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы Ортогональные многочлены, для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
где gn =n ((a1 + (n + 1)b2).
Наиболее важные системы Ортогональные многочлены (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).
1) Якоби многочлены {Рп (l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)l (1 + x)m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены  (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); l = m = 1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 2-го рода n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Рп (х).
2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщенные многочлены Лагерра  — при  .
3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —¥, b = + ¥ и  (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).
Ортогональные многочлены обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри (а, b ). Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где An — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система Ортогональные многочлены обладает свойствами замкнутости. Три последовательных Ортогональные многочлены  ,  , связаны рекуррентным соотношением:
 ,
где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
 ,
то
 ;
Общая теория Ортогональные многочлены построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения Ортогональные многочлены явилось для него разложение интеграла  в непрерывную дробь с элементами вида х — an и числителями ln—1. Знаменатели jn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему Ортогональные многочлены на отрезке (a, b ) относительно веса r(х).
Приведенные выше классические системы Ортогональные многочлены выражаются через гипергеометрическую функцию.
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
В. И. Битюцков. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 21.11.2024 12:05:54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
