Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Ортогональные многочлены

Ортогональные многочлены (далее О)специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке (а, b ) (см. Ортогональная система функций). Нормированная система Ортогональные многочлены обозначается через , а система Ортогональные многочлены, старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы Ортогональные многочлены, для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)



Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению



где gn =n ((a1 + (n + 1)b2).

  Наиболее важные системы Ортогональные многочлены (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

  1) Якоби многочлены {Рп (l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)l (1 + x)m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены  (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); l = m = 1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 2-го рода n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Рп (х).

  2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщенные многочлены Лагерра  — при .

  3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —¥, b = + ¥ и  (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

  Ортогональные многочлены обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри (а, b ). Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига



где An — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система Ортогональные многочлены обладает свойствами замкнутости. Три последовательных Ортогональные многочлены , ,  связаны рекуррентным соотношением:

,

где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

,

то

;



  Общая теория Ортогональные многочлены построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения Ортогональные многочлены явилось для него разложение интеграла  в непрерывную дробь с элементами вида хan и числителями ln—1. Знаменатели jn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему Ортогональные многочлены на отрезке (a, b ) относительно веса r(х).

  Приведенные выше классические системы Ортогональные многочлены выражаются через гипергеометрическую функцию.

  Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

  В. И. Битюцков.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 16.12.2017 19:40:49


19:27 Сборная России по хоккею обыграла канадцев
19:02 Африканец в одних трусах избил немецкую старушку ногами
18:41 Актриса уличила магазин косметики в клеймении сотрудников
17:30 Собчак спела про свою задницу, маленькую грудь и Шнура
17:13 Найдена причина парализовавших эксплуатацию F-35 инцидентов
16:58 Названы очаги Третьей мировой войны