Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Ортогональные многочлены

Ортогональные многочлены (далее О)специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке (а, b ) (см. Ортогональная система функций). Нормированная система Ортогональные многочлены обозначается через , а система Ортогональные многочлены, старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы Ортогональные многочлены, для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)



Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению



где gn =n ((a1 + (n + 1)b2).

  Наиболее важные системы Ортогональные многочлены (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

  1) Якоби многочлены {Рп (l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)l (1 + x)m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены  (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); l = m = 1/2, т. е.  — Чебышева многочлены 2-го рода n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Рп (х).

  2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщенные многочлены Лагерра  — при .

  3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —¥, b = + ¥ и  (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

  Ортогональные многочлены обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри (а, b ). Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига



где An — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система Ортогональные многочлены обладает свойствами замкнутости. Три последовательных Ортогональные многочлены , ,  связаны рекуррентным соотношением:

,

где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

,

то

;



  Общая теория Ортогональные многочлены построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения Ортогональные многочлены явилось для него разложение интеграла  в непрерывную дробь с элементами вида хan и числителями ln—1. Знаменатели jn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему Ортогональные многочлены на отрезке (a, b ) относительно веса r(х).

  Приведенные выше классические системы Ортогональные многочлены выражаются через гипергеометрическую функцию.

  Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

  В. И. Битюцков.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 04.03.2021 07:09:20
06:57 Итальянский повар раскрыла секрет приготовления идеальных макарон
06:54 Названа причина остановки строительства первого в России частного космодрома
06:35 На Солнце нашли источник опасных частиц
06:24 В Конгрессе США призвали Россию освободить осужденного американского студента
06:21 На Украине объяснили устойчивость пророссийских настроений
06:06 В Сенате США задумали ограничить полномочия президента
06:00 Мужчина опубликовал фото с «летающим в небе» кораблем и нашел этому объяснение
05:42 Российские птицеводы пожаловались на нехватку яиц
05:23 Илон Маск прокомментировал взрыв Starship
Больше новостей
СегодняЦенности «Это женский инстинкт самосохранения»Россиянки идут в эскорт в погоне за роскошной жизнью. Чем они рискуют и чего боятся?
3 марта 2021Россия «Мне казалось, что на всем свете я одна такая»Россиянка лишилась лица из-за пожара. Она провела жизнь в нищете и ненависти, но не сдалась
СегодняИз жизни «Одним утром я проснулась и поняла: блин, а я не в кино»История россиянки, которая переехала в Милан за любовью и нашла дело всей жизни
22:06, 3 марта 2021 «Скопинский маньяк» приехал в Москву
05:15 Женщина родила здорового мальчика с одним мозгом на две головы
05:27 Названы лучшие города России для начала жизни «с чистого листа»
СегодняМир «Есть вещи, которые нельзя совершать даже принцу»Саудовский принц нажил много врагов на пути к престолу. Теперь его обвиняют в убийстве одного из них
2 марта 2021Экономика Найдется всеВ России объявили войну неплательщикам налогов. Теперь россияне заплатят даже за чужие долги
04:51 Премьер-министр Словакии поругался с президентом из-за российской вакцины
20:10, 3 марта 2021 Стилистка раскрыла необычный способ обновить гардероб без вложений
04:27 Американский дипломат рассказал о «жестком» подходе Байдена к Украине
Сегодня «Это больше, чем просто синяки на коже»Последствия коронавируса, войн и ошибок власти — в объективах лучших фотографов мира
3 марта 2021Путешествия Русский город любви Казаки возвели русский Париж с Эйфелевой башней на Урале. Зачем туда ехать туристам?
04:42 Ученые выявили наиболее психологически устойчивых к пандемии коронавируса людей
04:08 Российский генерал объяснил схему хищения 6,7 миллиарда рублей
19:52, 3 марта 2021 В России пятилетнюю девочку насмерть засыпало землей из самосвала
3 марта 2021Культура Воспитание чувствУчительница-порнозвезда, полицейский-убийца и брошенный дом: что показали на Берлинском фестивале
3 марта 2021Силовые структуры «На меня смотрело какое-то жуткое существо»На свободу вышел Скопинский маньяк. Школьница рассказала, как была секс-рабыней в его бункере
04:01 Эксперты раскрыли способы Кейт Миддлтон скрыть нижнее белье под одеждой
03:17 Обнаружены первые случаи «вечного» заражения коронавирусом
03:53 Раскрыты характеристики российских «Мистралей»
3 марта 2021Дом «У меня начались панические атаки»История российской семьи, которая купила квартиру и оказалась на улице
2 марта 2021Россия «Миллион на операцию мне самой не заработать»Только срочная операция вернет Сашу к нормальной жизни. Ей нужна ваша помощь
19:49, 3 марта 2021 Принцу Гарри рекомендовали вернуться в Великобританию и попрощаться с дедушкой
03:10 Москвичи закупились золотом
02:52 Россияне с редкой болезнью остались без лекарства
СегодняРоссия «Мы были там, где нужны»В России миллионы людей стали волонтерами. Почему они помогают другим и не просят за это денег?
3 марта 2021 «Мы совершили все возможные ошибки»Все больше армян присоединяются к военным, требуя отставки Пашиняна. Почему он не намерен уходить?
02:52 Starship взорвался через несколько минут после приземления
02:45 Меркель заявила о начале смягчения коронавирусных ограничений в Германии
02:40 Фея Динь-Динь заставила женщину похудеть на 57 килограммов
28 февраля 2021Силовые структуры «Я отказалась стать украшением для начальника»Самую красивую сотрудницу Росгвардии уволили после 11 лет службы. Ее травили завистливые коллеги
16 февраля 2021 ПромоЖелезные аргументыКакие ноутбуки и почему выбирают топ-менеджеры и бизнесмены по всему миру
02:13 Раскрыты неожиданные симптомы цирроза печени
01:51 Конгрессмены США отменили заседание из-за угрозы нового штурма Капитолия
02:01 В России захотели ввести новый «налог на Google»
2 марта 2021Ценности «Почему я не сделала этого раньше?»Канье Уэст и Ким Кардашьян разводятся после семи лет брака. Как они будут делить нажитые миллионы?
2 марта 2021Культура Мама, анархияНастоящий шедевр, похмелье по юности и робот-любовник: как начался Берлинский фестиваль
01:22 Автомобилисты столкнулись с проблемами при оформлении ОСАГО
01:12 Ученые обнаружили связь между группой крови и коронавирусом
01:00 Ученый рассказал об особенностях новой российской вакцины от коронавируса
2 марта 2021Интернет и СМИ «Все только и делают, что хвалят себя»Маск зовет на разговор Путина, Соловьева банят биониклы: что не так с нашумевшей соцсетью Clubhouse?
2 марта 2021Россия «Ну вы меня понимаете»Михаилу Горбачеву 90 лет. Что он говорил о США, перестройке, Ельцине и Иисусе Христе
00:47 Гол Миранчука помог «Аталанте» разгромно победить в матче чемпионата Италии
01:04 «Манчестер Юнайтед» потерял очки в игре с середняком АПЛ
01:01 Жена Стэтхэма снялась обнаженной для обложки журнала и взволновала фанатов
1 марта 2021Путешествия «Господи, как же сложно!»Дикие условия, заледеневшие водопады и мороз: зачем туристам ехать на зимний Алтай
00:34 США назвали Россию одной из главных угроз
00:30 Украина потребовала от Словакии извинений из-за шутки о Закарпатье
00:16 США показали «прорыв» российского С-400
23:41, 3 марта 2021 Снайпер убил спасавшего детей сотрудника полиции ДНР
00:11 SpaceX экстренно отменила испытания прототипа Starship
23:56, 3 марта 2021 Американских радикалов заподозрили в намерении повторить штурм Капитолия
23:06, 3 марта 2021 Тысячи россиянок захотели сняться в фильме на МКС
22:58, 3 марта 2021 Адвокат назвала срок пребывания Навального в СИЗО
23:41, 3 марта 2021 В МИД России назвали паноптикумом предложение Авакова об иновещании на русском
22:50, 3 марта 2021 «Лестер» потерял очки в матче с аутсайдером АПЛ
23:06, 3 марта 2021 США назвали способ для России избежать новых санкций
22:41, 3 марта 2021 Первый канал допустил Little Big до отбора на «Евровидение»
22:02, 3 марта 2021 В МИД России объяснили невозможность прививать граждан в посольствах
21:19, 3 марта 2021 В Швеции мужчина напал на людей с холодным оружием и ранил восемь человек