Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Оптимальное управление

Оптимальное управление (далее О), раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи.

  Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены "рулями" — с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается некоторыми уравнениями, куда входят и управляющие параметры, характеризующие положение "рулей". Естественно, возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления движением. Например, речь может идти о достижении цели движения за минимальное время. Этот вопрос является задачей вариационного исчисления. В отличие от классических вариационных задач, где управляющие параметры меняются в некоторой открытой области (без границы), теория О охватывает и тот случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения. Последнее обстоятельство особенно существенно с прикладной точки зрения, поскольку при управлении техническим объектом именно положение "руля" "на упоре" часто обеспечивает О

  Уже само зарождение (в начале 50-х гг. 20 в.) О представляет собой яркий пример того, как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Для новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного производства характерно стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы. Именно эти конкретные технические задачи стимулировали разработку теории О, оказавшейся математически очень содержательной и позволившей решить многие задачи, к которым классические методы были неприменимы. Интенсивное развитие теории О, в свою очередь, оказалось мощным фактором, способствующим успешному решению научно-технических и народнохозяйственных задач.

  Центральным результатом теории О. является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведенные Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходный пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории О При решении ряда задач О с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны американским ученым Р. Беллманом и его сотрудниками.

  В общих чертах задача О состоит в следующем. Рассмотрим управляемый объект, под которым понимается некоторая машина, прибор или процесс, снабженные "рулями". Манипулируя "рулями" (в пределах имеющихся ресурсов управления), мы тем самым определяем движение объекта, управляем им. Например, технологический процесс осуществления реакции можно считать управляемым объектом, "рулями" которого являются концентрации ингредиентов, количество катализатора, поддерживаемая температура и др. факторы, влияющие на течение реакции. Для того чтобы знать, как именно ведет себя объект при том или ином управлении, необходимо иметь закон движения, описывающий динамические свойства рассматриваемого объекта и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования "рулями" эволюцию состояния объекта. Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Так, осуществляя маневр судном, необходимо учитывать не только технической возможности самого судна, но и границу фарватера.

  Имея дело с управляемым объектом, всегда стремятся так манипулировать "рулями", чтобы, исходя из определенно начального состояния, в итоге достичь некоторого желаемого состояния. Например, для запуска ИСЗ необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, который обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определенного критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т.п.

  В качестве типичного можно привести управляемый объект, закон движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

 = , (1)

i = 1,..., n,

где x1,..., xn — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент времени t, а u 1,..., u r — управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени

, j = 1,..., r,   (2)

  являющихся допустимыми с точки зрения имеющихся возможностей управления объектом. Например, в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка (u 1,..., u r) принадлежала заданному замкнутому множеству . Это последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической. Пусть заданы начальное ( x 10,..., x n0) и конечное (x 11,..., x n1) состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдется такой момент времени t1 > t0, что решение (x 1(t),..., x n (t*( задачи

(3)

x i (t0) = x i0,

i = 1,..., n,

удовлетворяет условию x i (t1) = x i1. Качество этого управления будем оценивать значением функционала

, (4)

где  — заданная функция. Задача О состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Т. о., математическая теория О — это раздел математики, рассматривающий неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на которых реализуется экстремум.

  Сформулируем для поставленной задачи необходимое условие оптимальности управления.

  Принцип максимума Понтрягина. Пусть вектор-функция

u = u (t) = (u 1(t),..., u r (t*(, t £ t0 £ t1, (5)

– оптимальное управление, а вектор-функция

x = x (t) = (x 1(t),..., x n (t*(, t £ t0 £ t1,

– соответствующее ему решение задачи (3). Рассмотрим вспомогательную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (6)

k = 0, 1,..., n,

 и составим функцию

Н (y, х, u) = ,

зависящую, помимо х и u, от вектора y = (y0, y1,..., yn). Тогда у линейной системы (6) существует такое нетривиальное решение

y = y(t) = (y0(t), y1(t),..., yn (t*(,

t £ t0 £ t1,

что для всех точек t из отрезка (t0, t1), в которых функция (5) непрерывна, выполнено соотношение

мах Н (y(t), х (t), u) = Н (y(t), x (t), u (t*( = 0,

                                   u Î

причем y0(t) º const £ 0.

  К виду (1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механических объектов с конечным числом степеней свободы. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач О, отличающиеся от приведенной выше: задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана, задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат некоторым множествам, задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи (3) в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др. В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (например, величина х может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными. Часто приходится рассматривать управляемые объекты, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет О стохастическими объектами.

  Лит.: Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд.. М., 1969 (авт. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко); Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971.

  Н. Х. Розов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.01.2022 19:21:41
19:12 Ценам на газ пообещали рекордный рост из-за России и Украины
19:09 Разъяренный слон перевернул внедорожник с семьей туристов и попал на видео
19:09 Появление бесплатных игр на PlayStation назвали неизбежным
19:09 Малышева предупредила об опасности популярного препарата
19:04 Названа причина экстренной посадки пассажирского Boeing в Пулково
19:04 Летевший в США пассажирский Boeing экстренно сел в Санкт-Петербурге
19:01 Звезды сериала «Эйфория» закрутили роман
18:59 F-35A помешала маленькая птица
18:57 Стерлинг призвал сажать в тюрьму уличенных в применении допинга бойцов
18:57 В российском городе упавшая с крыши глыба льда убила мужчину
18:54 Родители угрожавшего бить русских дагестанца извинились за сына
18:52 В заходящий на посадку в Сочи самолет ударила молния
Больше новостей
СегодняРоссия «Ты просто не знаешь, на что они способны» Две медсестры сургутской больницы покончили с собой. Кто виноват в их смерти?
СегодняБывший СССР «Это не страшно, это смешно» Зеленский решил устранить главного конкурента. Как дело Порошенко изменит политику Украины?
СегодняНаука и техника «Число танков, орудий, трупов — огромно» Как Красной армии удалось прорвать блокаду Ленинграда
18:52 Родители устроившего скандал в московском автобусе дагестанца извинились за сына
18:45 Лавров призвал Блинкена не тиражировать спекуляции о российской агрессии
18:41 Раскрыт секретный гаджет Apple
СегодняКультура Биба и Боба. «Звездные войны» превратили в криминальный боевик. Что из этого получилось?
СегодняРоссия «Боль такая, что невозможно вздохнуть» Свету спасет срочная операция. Ей нужна ваша помощь
18:41 Белоруссия и Литва отреагировали на отчет ИКАО о посадке самолета Ryanair
18:37 Стало известно о значительном подорожании заграничного отдыха
18:33 Российские «Жабы» после Швеции встревожили Великобританию
16 января 2022Интернет и СМИ ФСБ объявила о разгроме главной хакерской группировки планеты. Как «русские хакеры» обманули Трампа, Леди Гагу и Мадонну?
17 января 2022Россия «У тебя это как будто на лбу написано» Истории россиян, которые живут с психическими расстройствами
18:33 Российские полицейские предотвратили заказное убийство крымчанина
18:32 Вице-спикера Госдумы Толстого избрали главой делегации России в ПАСЕ
18:31 «Газпром» обвинили в манипуляциях на рынке газа в Европе
17 января 2022Путешествия «На рынках покупают и рыбу, и женщин» Россиянин провел отпуск в Мексике. Чем его удивила латиноамериканская страна?
17 января 2022Силовые структуры «Меня бросили на пол и начали избивать» Россиянина нашли обезглавленным после пыток в полиции. Кто ответит за его смерть?
18:28 Nestle в России полностью перейдет на энергию ветра
18:28 Российский врач развеяла популярный миф о псориазе
18:27 Обвиняемых в пытках полицейских отпустили из-под домашнего ареста
17 января 2022Культура Выжившие в девяностые. В прокате — первый за десять лет «Крик». Нужно ли его смотреть?
17 января 2022Россия В Москве дагестанец угрожал пассажирам автобуса и обещал бить русских. Он задержан и ждет решения по уголовному делу
18:27 В России исключили введение принудительной вакцинации детей от коронавируса
18:27 Российская семья бросила троих голодающих детей после скандала
18:23 Путин и Алиев обсудили Украину
16 января 2022Культура «Нужно было подвалить к богатому человеку и хапнуть» Заказуха, свобода и угар: жизнь российского телевидения в 1990-х
16 января 2022Спорт «Это какое-то чудо!» Российские фигуристы выиграли все золото чемпионата Европы
18:22 Полиция огласила итоги проверки больницы Сургута после суицида медсестер
18:19 Нефти предрекли подорожание до 100 долларов
18:19 Посольство Австралии в Москве перестало заниматься визовыми вопросами
16 января 2022Бывший СССР На своей земле. Почему север Казахстана называют казачьими землями и как там живут миллионы русских
16 января 2022Ценности Царская фамилия и имперские замашки. Что помешало «хозяину Ленинграда» Григорию Романову возглавить Советский Союз?
18:09 В СПЧ предложили альтернативную меру наказания для педофилов-рецидивистов
18:05 Стилисты назвали самую модную куртку 2022 года
18:05 Нейросеть изобразила Москву юной девушкой
16 января 2022Из жизни Утопия Ричетти. Как шахтер обиделся на всех и построил собственный мир в австралийской пещере
15 января 2022Силовые структуры «Друг другу мы были кровными братьями» Как телохранители Ельцина ныряли за ним в ледяную воду и разбавляли его водку
18:02 Дочь Заворотнюк рассказала о «страшной болезни» матери
18:00 Учитель математики нашел кольцо времен Римской империи во дворе своего дома
17:58 Samsung изобрела ноутбук-оригами
15 января 2022Интернет и СМИ «Не могу в это поверить!» Американка обменяла заколку на дом. Как ей это удалось?
15 января 2022Культура Блудливая Калифорния. В прокате новый фильм режиссера «Нефти» и «Магнолии». Почему ему пророчат «Оскар»?
17:54 Соперница российских фигуристок объявила сбор средств для поездки на Олимпиаду
17:50 Блинкен обсудил с Лавровым деэскалацию на украинской границе
17:50 Российских застройщиков осудили за обман дольщиков на два миллиарда рублей
15 января 2022Среда обитания Забор спасения. Нью-Йорку грозит затопление: как американцы решили спасти город и построить вокруг него стены
15 января 2022Наука и техника Что ты такое? Лампочка-шпион, кусающийся робот и другие странные изобретения 2022 года
17:40 В Москве госпитализирован посол Белоруссии
17:40 Полиция Испании освободила китаянок из сексуального рабства
17:32 Россиянам не хватило студий в Подмосковье
14 января 2022Наука и техника «Циркон», Су-57 и самый большой вертолет: какое оружие получит Россия в 2022 году
14 января 2022Мир «Проще НАТО распустить» Почему Россия и Запад не нашли общего языка на переговорах по безопасности и чем это грозит?
17:31 В подразделениях полиции Санкт-Петербурга и Ленобласти прошли обыски
17:30 На Украине потребовали от НАТО гарантий безопасности до вступления в альянс
17:28 Российский фондовый рынок рекордно рухнул
14 января 2022Интернет и СМИ «Хованский — смелый человек» Как MDK и миллионы пользователей сети поддерживают блогера после его выхода из СИЗО
17:26 Говоривший о смерти Назарбаева Жириновский оценил его появление на публике
17:26 В Meta назвали причину блокировки страницы делегации России в Facebook
17:19 Манекен «прекрасного принца» приняли за труп
17:15 Таиланд увеличил срок карантина для зараженных COVID-19 туристов
17:14 Уязвимость россиян перед кибермошенниками объяснили
17:14 Самолеты НАТО возобновили разведку у границ России и Украины
17:14 Российское «Небо» защитит Поволжье и Урал
17:12 В московском метро произошла массовая драка приезжих
17:07 Гинцбург высказался о предпосылках к завершению пандемии COVID-19
17:06 Союз журналистов России передал главе МИД Германии обращение о RT DE
17:03 В наряде девушки Канье Уэста разглядели подражание его бывшей жене Ким Кардашьян
16:56 Акции Activision Blizzard взлетели в цене
16:55 В Госдуме посоветовали россиянам купить жилье в ДНР и ЛНР
16:53 Расстрелявший сослуживцев в Воронеже солдат Макаров избежал колонии
16:53 Microsoft купит издателя Call of Duty и World of Warcraft
16:51 МВД заявило о снижении количества зарегистрированных преступлений в 2021 году
16:45 В Казахстане заметили странности в видеообращении Назарбаева
16:40 Появилась новая версия смертельного отравления арбузом из московского «Магнита»
16:39 В Германии осталось газа на несколько дней
16:39 Российский заключенный совершил суицид в одиночной камере
16:38 Умер актер из «Солдат» и «Моей прекрасной няни» Анатолий Басин
16:37 Польша и Белоруссия разошлись в оценках инцидента на границе
16:31 Эстония обвинила Россию в четырехкратном подорожании газа
16:26 Раскрыты подробности смертельного ДТП с россиянами в Доминикане
16:25 Израильская полиция использовала шпионское ПО Pegasus для слежки за гражданами
16:24 Главная российская «кубышка» потеряла сотни миллиардов рублей
16:19 Бывший главный следователь Москвы рассказал СПЧ об условиях в колонии
16:19 В еще двух российских регионах выявили случаи омикрона
16:18 Россиянам раскрыли способ попасть в закрытые европейские страны
16:18 В Mash отреагировали на претензии певицы Монеточки из-за адреса ее дома
16:15 Названы причины спроса на недвижимость в Турции среди россиян
16:15 Мать пропавшей 15-летней россиянки рассказала о последней записи в ее дневнике
16:15 Глава Еврейского комитета Украины заявил о подготовке покушения на себя
16:08 США увидели в китайском техногиганте угрозу нацбезопасности
16:07 Эксперты зашли в тупик в деле об отравлении двух москвичек арбузом
16:07 В Подмосковье из-за застрявших в снегу пожарных сгорел дом