Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Оптимальное управление

Оптимальное управление (далее О), раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи.

  Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены "рулями" — с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается некоторыми уравнениями, куда входят и управляющие параметры, характеризующие положение "рулей". Естественно, возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления движением. Например, речь может идти о достижении цели движения за минимальное время. Этот вопрос является задачей вариационного исчисления. В отличие от классических вариационных задач, где управляющие параметры меняются в некоторой открытой области (без границы), теория О охватывает и тот случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения. Последнее обстоятельство особенно существенно с прикладной точки зрения, поскольку при управлении техническим объектом именно положение "руля" "на упоре" часто обеспечивает О

  Уже само зарождение (в начале 50-х гг. 20 в.) О представляет собой яркий пример того, как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Для новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного производства характерно стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы. Именно эти конкретные технические задачи стимулировали разработку теории О, оказавшейся математически очень содержательной и позволившей решить многие задачи, к которым классические методы были неприменимы. Интенсивное развитие теории О, в свою очередь, оказалось мощным фактором, способствующим успешному решению научно-технических и народнохозяйственных задач.

  Центральным результатом теории О. является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведенные Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходный пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории О При решении ряда задач О с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны американским ученым Р. Беллманом и его сотрудниками.

  В общих чертах задача О состоит в следующем. Рассмотрим управляемый объект, под которым понимается некоторая машина, прибор или процесс, снабженные "рулями". Манипулируя "рулями" (в пределах имеющихся ресурсов управления), мы тем самым определяем движение объекта, управляем им. Например, технологический процесс осуществления реакции можно считать управляемым объектом, "рулями" которого являются концентрации ингредиентов, количество катализатора, поддерживаемая температура и др. факторы, влияющие на течение реакции. Для того чтобы знать, как именно ведет себя объект при том или ином управлении, необходимо иметь закон движения, описывающий динамические свойства рассматриваемого объекта и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования "рулями" эволюцию состояния объекта. Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Так, осуществляя маневр судном, необходимо учитывать не только технической возможности самого судна, но и границу фарватера.

  Имея дело с управляемым объектом, всегда стремятся так манипулировать "рулями", чтобы, исходя из определенно начального состояния, в итоге достичь некоторого желаемого состояния. Например, для запуска ИСЗ необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, который обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определенного критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т.п.

  В качестве типичного можно привести управляемый объект, закон движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

 = , (1)

i = 1,..., n,

где x1,..., xn — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент времени t, а u 1,..., u r — управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени

, j = 1,..., r,   (2)

  являющихся допустимыми с точки зрения имеющихся возможностей управления объектом. Например, в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка (u 1,..., u r) принадлежала заданному замкнутому множеству . Это последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической. Пусть заданы начальное ( x 10,..., x n0) и конечное (x 11,..., x n1) состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдется такой момент времени t1 > t0, что решение (x 1(t),..., x n (t*( задачи

(3)

x i (t0) = x i0,

i = 1,..., n,

удовлетворяет условию x i (t1) = x i1. Качество этого управления будем оценивать значением функционала

, (4)

где  — заданная функция. Задача О состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Т. о., математическая теория О — это раздел математики, рассматривающий неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на которых реализуется экстремум.

  Сформулируем для поставленной задачи необходимое условие оптимальности управления.

  Принцип максимума Понтрягина. Пусть вектор-функция

u = u (t) = (u 1(t),..., u r (t*(, t £ t0 £ t1, (5)

– оптимальное управление, а вектор-функция

x = x (t) = (x 1(t),..., x n (t*(, t £ t0 £ t1,

– соответствующее ему решение задачи (3). Рассмотрим вспомогательную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (6)

k = 0, 1,..., n,

 и составим функцию

Н (y, х, u) = ,

зависящую, помимо х и u, от вектора y = (y0, y1,..., yn). Тогда у линейной системы (6) существует такое нетривиальное решение

y = y(t) = (y0(t), y1(t),..., yn (t*(,

t £ t0 £ t1,

что для всех точек t из отрезка (t0, t1), в которых функция (5) непрерывна, выполнено соотношение

мах Н (y(t), х (t), u) = Н (y(t), x (t), u (t*( = 0,

                                   u Î

причем y0(t) º const £ 0.

  К виду (1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механических объектов с конечным числом степеней свободы. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач О, отличающиеся от приведенной выше: задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана, задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат некоторым множествам, задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи (3) в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др. В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (например, величина х может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными. Часто приходится рассматривать управляемые объекты, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет О стохастическими объектами.

  Лит.: Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд.. М., 1969 (авт. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко); Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971.

  Н. Х. Розов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 04.03.2021 09:08:31
08:57 ЛНР обвинила Киев в размещении бронетехники в жилых районах Донбасса
08:56 Половина российских мужчин захотела оставить женщин без работы
08:53 Девять человек пострадали при столкновении автобуса со столбом в Удмуртии
08:51 США проверят вооружение из-за «вызовов» России и Китая
08:41 Семья сходила на обед и разбогатела на 63 миллиона рублей
08:29 Функционал Госуслуг предложили расширить
08:25 Власти Кипра отказались вмешиваться в конфликт с песней для «Евровидения»
08:07 Помпео заявил о возможности своего участия в президентских выборах в 2024 году
07:48 Путин назначил первого заместителя директора ФСБ
Больше новостей
СегодняЦенности «Это женский инстинкт самосохранения»Россиянки идут в эскорт в погоне за роскошной жизнью. Чем они рискуют и чего боятся?
3 марта 2021Россия «Мне казалось, что на всем свете я одна такая»Россиянка лишилась лица из-за пожара. Она провела жизнь в нищете и ненависти, но не сдалась
СегодняИз жизни «Одним утром я проснулась и поняла: блин, а я не в кино»История россиянки, которая переехала в Милан за любовью и нашла дело всей жизни
08:00 Названо лучшее розовое вино России
07:56 54-летняя голливудская актриса поделилась секретом своей cтройной фигуры
07:42 Женщина объелась чеснока и столкнулась с неожиданным последствием
СегодняМир «Есть вещи, которые нельзя совершать даже принцу»Саудовский принц нажил много врагов на пути к престолу. Теперь его обвиняют в убийстве одного из них
2 марта 2021Экономика Найдется всеВ России объявили войну неплательщикам налогов. Теперь россияне заплатят даже за чужие долги
07:25 Работавшая горничной в отеле Сочи девушка раскрыла правду о воровстве персонала
07:25 Тарасова дала совет Косторной
07:25 Женщины назвали приемлемую сумму на сохранение молодости
Сегодня «Это больше, чем просто синяки на коже»Последствия коронавируса, войн и ошибок власти — в объективах лучших фотографов мира
3 марта 2021Путешествия Русский город любви Казаки возвели русский Париж с Эйфелевой башней на Урале. Зачем туда ехать туристам?
07:14 Соседи разругались из-за надувного замка для дискотеки
06:24 В Конгрессе США призвали Россию освободить осужденного американского студента
07:10 Палата представителей США поддержала полицейскую реформу имени Джорджа Флойда
3 марта 2021Культура Воспитание чувствУчительница-порнозвезда, полицейский-убийца и брошенный дом: что показали на Берлинском фестивале
3 марта 2021Дом «У меня начались панические атаки»История российской семьи, которая купила квартиру и оказалась на улице
06:57 Итальянский повар раскрыла секрет приготовления идеальных макарон
06:54 Названа причина остановки строительства первого в России частного космодрома
06:00 Мужчина опубликовал фото с «летающим в небе» кораблем и нашел этому объяснение
3 марта 2021Силовые структуры «На меня смотрело какое-то жуткое существо»На свободу вышел Скопинский маньяк. Школьница рассказала, как была секс-рабыней в его бункере
2 марта 2021Россия «Миллион на операцию мне самой не заработать»Только срочная операция вернет Сашу к нормальной жизни. Ей нужна ваша помощь
22:06, 3 марта 2021 «Скопинский маньяк» приехал в Москву
06:35 На Солнце нашли источник опасных частиц
05:42 Российские птицеводы пожаловались на нехватку яиц
3 марта 2021 «Мы совершили все возможные ошибки»Все больше армян присоединяются к военным, требуя отставки Пашиняна. Почему он не намерен уходить?
СегодняРоссия «Мы были там, где нужны»В России миллионы людей стали волонтерами. Почему они помогают другим и не просят за это денег?
06:21 На Украине объяснили устойчивость пророссийских настроений
05:15 Женщина родила здорового мальчика с одним мозгом на две головы
06:06 В Сенате США задумали ограничить полномочия президента
16 февраля 2021 ПромоЖелезные аргументыКакие ноутбуки и почему выбирают топ-менеджеры и бизнесмены по всему миру
28 февраля 2021Силовые структуры «Я отказалась стать украшением для начальника»Самую красивую сотрудницу Росгвардии уволили после 11 лет службы. Ее травили завистливые коллеги
04:51 Премьер-министр Словакии поругался с президентом из-за российской вакцины
04:42 Ученые выявили наиболее психологически устойчивых к пандемии коронавируса людей
05:27 Названы лучшие города России для начала жизни «с чистого листа»
2 марта 2021Интернет и СМИ «Все только и делают, что хвалят себя»Маск зовет на разговор Путина, Соловьева банят биониклы: что не так с нашумевшей соцсетью Clubhouse?
2 марта 2021Ценности «Почему я не сделала этого раньше?»Канье Уэст и Ким Кардашьян разводятся после семи лет брака. Как они будут делить нажитые миллионы?
05:23 Илон Маск прокомментировал взрыв Starship
04:01 Эксперты раскрыли способы Кейт Миддлтон скрыть нижнее белье под одеждой
04:27 Американский дипломат рассказал о «жестком» подходе Байдена к Украине
2 марта 2021Россия «Ну вы меня понимаете»Михаилу Горбачеву 90 лет. Что он говорил о США, перестройке, Ельцине и Иисусе Христе
2 марта 2021Культура Мама, анархияНастоящий шедевр, похмелье по юности и робот-любовник: как начался Берлинский фестиваль
03:53 Раскрыты характеристики российских «Мистралей»
04:08 Российский генерал объяснил схему хищения 6,7 миллиарда рублей
02:52 Россияне с редкой болезнью остались без лекарства
1 марта 2021Путешествия «Господи, как же сложно!»Дикие условия, заледеневшие водопады и мороз: зачем туристам ехать на зимний Алтай
03:17 Обнаружены первые случаи «вечного» заражения коронавирусом
02:40 Фея Динь-Динь заставила женщину похудеть на 57 килограммов
03:10 Москвичи закупились золотом
02:52 Starship взорвался через несколько минут после приземления
02:13 Раскрыты неожиданные симптомы цирроза печени
02:45 Меркель заявила о начале смягчения коронавирусных ограничений в Германии
02:01 В России захотели ввести новый «налог на Google»
01:12 Ученые обнаружили связь между группой крови и коронавирусом
01:04 «Манчестер Юнайтед» потерял очки в игре с середняком АПЛ