Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Определитель

Определитель (далее О), детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причем из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a1aa2b...ang. (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берется знак +, если перестановка a, b, ..., g четная, и знак – , если эта перестановка нечетная. (Перестановку называют четной, если в ней содержится четное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечетной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечетная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.) Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О содержит n! членов, из которых 1/2n! берется со знаком + и 1/2n! со знаком –. Число n называется порядком О

  О, составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращенно, в виде |aik|). Для О 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a11a22a12a21,

   = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.

О 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:  равен площади параллелограмма, построенного на векторах a1 = (x1, y1) и a2 = (х2.у2), а  равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a1 = (x1, y1, z1), a2 = (x2, у2, z2) и а3 = (х3, y3, z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

 (4)

  Эта система имеет одно определенное решение, если О |aik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О|aik|, а в числителе — О, получаемый из |aik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хт) числами b1, b2, ..., bn. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными



решение дается формулами

;     .

  Если b1 = b2 = ..., = bn = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik| = 0. Связь теории О с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (х3, y3, z3), может быть записано в виде:

 = 0.

  О обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) . не изменяется, если в нем строки и столбцы поменять местами:

 = ;

  2) О меняет знак, если в нем поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

 = –;

  3) О равен нулю, если в нем элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О можно вынести за знак О; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О есть сумма двух слагаемых, то О равен сумме двух О, причем в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О; так, например:

 =  + ;

  6) О не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:

 = ai1A i1 + ai2Ai2 + ...+ainAin.

  Коэффициент Aik, стоящий при элементе aik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента aik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: Aik = (–1)i + kDik, где Dik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу aik, то есть О порядка n-1, получающийся из данного О посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aik. Например, разложение О 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

   = –a12 + a22 – a32.

  Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О 5-го порядка приводится к вычислению пяти О 4-го порядка; вычисление каждого из этих О 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырех О 3-го порядка (формула для вычисления О 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О практически применим лишь для О сравнительно небольших порядков. Для вычисления О большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О n-го порядка приходится выполнять примерно n3 арифметических операций).

  Отметим еще правило умножения двух О n-го порядка: произведение двух О n-го порядка может быть представлено в виде О того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О двух матриц равно О произведения этих матриц.

  В математическом анализе О систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О, элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан)

.

  О Якоби равен коэффициенту искажения объемов при переходе от неременных х1, x2, ..., хп к переменным

y1 = f1(x1, ..., xn),

y2 = f2(x1, ..., xn),

………………….

yn = fn(x1, ..., xn).

  Тождественное равенство в некоторой области этого О нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ..., xn).

  Во 2-й половине 19 в. возникла теория О бесконечного порядка. Бесконечными О называются выражения вида:

 (5)

  (односторонний бесконечный О) и



  (двусторонний бесконечный О). Бесконечный О (5) есть предел, к которому стремится О



при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О

  Теория О конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин "О" ("детерминант") принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.

 

  Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.01.2022 13:54:57
13:39 Лжебанкир выманил более полутора миллионов рублей у женщины в Москве
13:37 Максим Фадеев назвал Ольгу Бузову жертвой собственных продюсеров
13:33 Кремль отреагировал на требование омбудсмена Чечни исключить из СПЧ Каляпина
13:31 Коби Брайанту и его дочери установили памятник на месте их гибели
13:30 Путин посетил могилу умершего в блокаду брата
13:29 Девочка застряла под землей из-за двух огромных змей и заплакала
13:27 Гендиректор «Дождя» вышла в свет в прозрачной водолазке без нижнего белья
13:26 После убийства на «Южмаше» возбуждено дело о халатности руководства Нацгвардии
13:26 Суд изменил приговор за убийство адвоката Маркелова и журналистки Бабуровой
13:26 Россия собралась заработать на проблемах Китая
13:25 Токаев сообщил о полной стабилизации ситуации в Казахстане
12:59 В США предупредили о возможности Великобритании уничтожить корабли ВМФ России
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «При виде ребенка в них просыпается зверь» Педофилов в России ждет пожизненный срок. Почему эта мера не остановит их?
СегодняМир США и НАТО ответили на предложения России по безопасности. Запад отказался идти на уступки и сделал встречные предложения
СегодняМир Последний маршал. «Исламское государство» бросает вызов талибам в Афганистане. Кого поддержит легендарный командир?
13:18 Россия добьется разъяснений «лукавой» позиции США по теме нерасширения НАТО
13:16 Вылетевший на тротуар российский таксист сбил девушку и попал на видео
13:16 Лавров напомнил о согласованном с Украиной ответе США по гарантиям безопасности
СегодняИнтернет и СМИ «Внутри меня постоянно идет борьба» Блогер с шизофренией описывает жизнь с расстройством. Почему за ним следят миллионы?
СегодняКультура Ведьма-философ, каннибал-комедия и полицейское государство: самые страшные фильмы «Сандэнса»-2022
13:10 Блогерша разоблачила популярный лайфхак о «Макдоналдсе»
13:10 Джонсона упрекнули в спасении животных вместо афганских союзников
13:10 Около 500 застрявших в Стамбуле россиян вывезли на родину
26 января 2022Бывший СССР

Популярное видео

«Украинское общество готово к драке» Почему в республиках бывшего СССР не прекращаются войны и цветные революции?
26 января 2022Россия Как лечить COVID-19 дома. Инструкция Минздрава для тех, у кого болезнь протекает в легкой форме
13:10 Предложение США заменить российский газ посчитали наивным
13:05 Опубликован список убитых при стрельбе в Днепре
13:04 Экс-глава СБР объяснил снятие биатлонистов с рейса в Пекин разгильдяйством
26 января 2022Наука и техника «За фасадом сверхдержавы скрывался жестокий и слабый режим» Как Сталин начал новые репрессии после окончания войны
26 января 2022Ценности Телефоны-раскладушки, кричащая сексуальность и тату на пояснице: как зумеры возвращают в моду стиль своих родителей?
13:01 Президент Литвы попросил НАТО «не бряцать оружием» из-за Украины
12:59 Лондон выразил готовность направить больше военных в НАТО для сдерживания России
12:57 В Кремле ответили на вопрос о дальнейших контактах Путина и Байдена
26 января 2022Культура Голливудская цыпа. Мел Гибсон сыграл усатую пародию на самого себя в новом детективе. Что из этого вышло?
26 января 2022Среда обитания Зерна катастрофы. Глобальное потепление угрожает существованию кофе. Что будут пить по утрам миллионы людей?
12:56 Назван способ сэкономить время в пробке по пути на работу в Москве
12:56 В Кремле оценили перспективу отъезда посла России из США
12:54 Путин лично прочитал ответ США по гарантиям безопасности
25 января 2022Бывший СССР «Война начинает управлять сама собой» Что стоит за очередным обострением украинского кризиса и какую угрозу он несет?
25 января 2022Россия Навального внесли в список террористов и экстремистов. В реестр также попали его соратники — у них заблокируют счета
12:54 В Белоруссии признали экстремистами издателей «Нашей нивы»
12:54 В Кремле высказались об ответе США по гарантиям безопасности
12:54 Песков сравнил отношения России и Запада с холодной войной
25 января 2022Силовые структуры Служба мечты. Как гаишник из российской глубинки заработал на особняки, земельные участки и 22 квартиры
25 января 2022Из жизни «Тут я и узнала, что ад на земле существует» История россиянки, которая перебралась в Италию и увидела ее с иной стороны
12:53 Кремль признал невозможность остановить распространение омикрона
12:52 Расстрелявший сослуживцев украинский солдат сам сдался полиции
12:50 Кремль прокомментировал решение Путина посетить Турцию
25 января 2022Мир Замерзшие американцы и пленные коммунисты. Редкие кадры «забытой» войны в Корее на снимках лейтенанта армии США
25 января 2022Культура Попали в «Миротворец». Режиссер «Отряда самоубийц» снял антигеройский сериал с Джоном Синой. Чем он хорош?
12:47 Лавров прокомментировал ответ США на предложения по гарантиям безопасности
12:47 Россия обнародует ответ США на предложения по гарантиям безопасности
12:46 Лавров рассказал об оставшемся без ответа США пункте предложений по безопасности
25 января 202269-я параллель Затерянные во льдах. Полярные станции СССР и России 80 лет дрейфовали на льдинах. Что придет им на смену?
24 января 2022Россия «Ну че ты, Коля, плачешь?» Ради чего полицейские создают героиновые притоны по всей России?
12:45 15-летняя американка начала учить якутский язык
12:41 Нежелание США обнародовать ответ на предложения России объяснили
12:40 В ЛНР оценили угрозу применения комплексов Javelin украинской армией
24 января 2022Экономика «Чтобы не стать посмешищем на весь мир» Почему российские власти против запрета криптовалют вопреки позиции ЦБ?
24 января 2022Путешествия «Мусульмане обстреливали машины» Россиянин отправился в миролюбивую Индию. С какими внезапными трудностями он столкнулся?
12:40 Франция отправит в Румынию экспертов для подготовки миссии НАТО
12:39 Ведущий Первого канала показал свою квартиру
12:39 Жительница села в Якутии сняла на видео северное сияние
24 января 2022Мир Борис, ты не прав! Как вечеринки британского премьера в разгар пандемии испортили его репутацию и политическую карьеру
24 января 2022Культура Легендарный абортарий, голливудские дочки и мать тиктокера: как начался фестиваль «Сандэнс»
12:38 Инфекционист оценил вероятность появления способного вытеснить омикрон штамма
12:38 Звезда сериала «Мелроуз Плейс» Морган Стивенс найден мертвым
12:38 Зеленский прокомментировал расстрел сослуживцев солдатом-срочником
3 января 2022Россия «Два штамма будут терзать человечество одновременно» Как изменится пандемия коронавируса в 2022 году и что ждет Россию?
12:34 В посольстве прокомментировали избиение россиянина в Египте
12:33 Миранчуком заинтересовались в «Лацио»
12:32 Девушки без шеи на показе модного бренда стали мемом в соцсетях
12:30 Россиянам назвали сроки спада заболеваемости омикрон-штаммом
12:27 В США увидели выгоду Китая от кризиса на Украине
12:27 Получены новые доказательства жидкой воды на полюсе Марса
12:26 Медведев понадеялся на сотрудничество с США в борьбе с «русскими хакерами»
12:24 Названы самые щедрые американские миллиардеры
12:24 В Якутии создали образовательную платформу для изучения родных языков
12:23 Избитый до полусмерти в Египте россиянин рассказал об отказе в помощи от МИД
12:20 Россиянина обвинили в шпионаже в Германии
12:19 Семь пар близнецов родились в больнице за одни сутки
12:18 В МВД Украины прокомментировали инцидент со стрельбой в Днепре
12:17 Шнуров высмеял введение Fan ID в новой песне
12:08 Леонардо Ди Каприо продал неизвестному купленный у Моби дом
12:04 Названо неожиданное последствие антироссийских санкций
12:04 Приезжие избили и ограбили мужчину на детской площадке в Москве
12:03 Япония отреагировала на решение России перезахоронить останки разведчика Зорге
12:02 Популярного российского блогера избили и задержали в Египте
12:02 В России возбудили уголовное дело против бывшего сотрудника посольства США
12:00 Тренер сборной России сравнил условия на Олимпиаде с тюремными
12:00 Медведев рассказал о заготовке России на случай отключения от SWIFT
11:56 США отправили на Украину штурмовые гранатометы M141 BDM
11:54 В Госдуме заявили об опасной позиции США по гарантиям безопасности
11:54 В Израиле дружественным огнем ранили двух солдат
11:54 Депутаты Верховной Рады массово заболели COVID-19
11:53 Полиция задержала похитившую 26 миллионов рублей кассиршу российского банка
11:50 Бездомный мужчина тайно пробрался в самолет ради пива и сигарет
11:45 Оценена вероятность передачи нового коронавируса из ЮАР человеку
11:44 Россиянам назвали альтернативу пляжным курортам в Египте
11:40 В Евросоюзе раскритиковали США и НАТО за слухи о вторжении России на Украину
11:40 Нил Янг удалил свою музыку из Spotify из-за «фейков о вакцинах» на платформе
11:39 Неизвестные устроили стрельбу в центре Калининграда
11:38 Появились кадры расстрела нацгвардейцев в Днепре
11:35 Российского блогера объявили в федеральный розыск
11:29 Минеев высказался о возможном бое с Макгрегором