Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Операционное исчисление

Операционное исчисление (далее О), один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. О имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определенным правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р =  интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда др. задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой, вообще говоря, задаче решения алгебраического уравнения; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц "оригинал — изображение".

  Для развития О большое значение имели работы английского ученого О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р =  и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь О, Хевисайд решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако О не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование О было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t), 0 £ t < + ¥, переходит в функцию (z), z = x+iy:

f (t) ® (z),

  то производная

f (t) ® zF (z) f (0) (*)

  и интеграл

.

  Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z. В след. краткой таблице даны (при ³ 0) примеры соответствия

оригинал ®

изображение

f (t)

(z)

1

1/z

t n

n!/z n+1 (n > 0 – целое)

е lt

1/(z – l)

cos wt

z/(z 2 + w2)

sin wt

w/(z 2 + w2)

  Пример. Найти методом О решение у = f (t) линейного дифференциального уравнения

у” у" – 6у = 2e 4t

  при начальных условиях

y0 = f (0) = 0 и y0"=f`(0) = 0.

  Переходя от искомой функции f (t) и данной функции 2e4t к их изображениям (z) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

z2 (z) – zF (z) – 6 (z) = ,

  или

(z) = .

  Откуда (опять по таблице)

y = f (t) =

  Другой путь обоснования О предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О можно воспользоваться теорией обобщенных функций. Имеются различные обобщения О Существует многомерное О, основанное на теории кратных интегралов. Созданы О дифференциальных операторов, отличных от оператора р = , например = . Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в которых надлежащим образом определено понятие произведения функций.

  Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, О, М., 1966; Микусинский Я., О, пер. с польск., М., 1956; Штокало И. 3., О, К., 1972.

  В. А. Диткин.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 01.07.2022 20:12:28