Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Операторов теория

Операторов теория (далее О), часть функционального анализа, посвященная изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий.

  Примеры:

  1) Отнеся каждому вектору (x1, x2, x3) вектор (x`1, x"2, x`3) так, что x`i = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 (i = 1, 2, 3; ai1, ai2, ai3 — фиксированные числа), получим некоторый оператор.

  2) Операция (оператор) дифференцирования D (f (t)) = f`(t) относит каждой дифференцируемой функции f (t) ее производную f` (t).

  3) Операция (оператор) определенного интегрирования = относит каждой интегрируемой функции действительное число.

  4) Отнеся каждой функции f (t) ее произведение j(t) f (t) на фиксированную функцию j(t), снова получаем оператор.

  Общая О возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма — Лиувилля задача) и др. разделов классического анализа. О установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Еще до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление). О представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).

  Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А (х) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R" (возможно, совпадающее с R). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции, линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (ax+by) = aА (х) + bА (у) для любых элементов х, у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R" нормированы, а отношение   нормы А (х) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения  его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А (Хп) ® А (х), когда Хп ® х. Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор.

  Приведенные выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

  5) Пусть k (s, t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a £ s £ b, а £ t £ b. Формула



  определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.

  6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t) поставим в соответствие функцию



называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

  7) Левую часть линейного дифференциального уравнения



можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x (t) функцию j(t). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

  Примеры нелинейных операторов:

  8) Пусть A(f (t)) = f 2(t); определенный т. о. оператор является нелинейным.

  9) Пусть



  ( — некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g ® h, определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

  Действия над операторами. Пусть дан оператор

у = А (х),

  причем никакие два разных элемента х и х" не переходят в один и тот же элемент у. Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х. Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А–1(у).

  Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

  Если A1 и А2 — два оператора, отображающих R в R", то их суммой А = A1 + A2 называется оператор, определяемый равенством А (х) = A1(x) + A2(x). Если оператор A1 переводит R в R", а A2 переводит R" в R”, то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R”; его называют произведением A2A1 операторов A1 и A2. Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n-я степень An этого оператора. Например, n-я степень оператора дифференцирования есть оператор n-kpaтного дифференцирования Dn (f (t)) = f (n)(t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой

(lА)(х) = lА (х).

Оператор Е, переводящий всякий элемент х в самого себя, называется единичным. Нулевым называется оператор О, переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом А справедливы равенства: AE = EA = А и А+О = О + А = А, далее, если, А–1 существует, то А–1А = AA–1 = Е (следует заметить, что для двух произвольных операторов А и В произведения AB и BA, вообще говоря, не равны между собой).

  С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путем предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, — и более сложные функции от оператора. Например, если D — оператор дифференцирования, то eD означает оператор, определяемый формулой

,

  имеющий смысл для тех f (t), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равна f (t + 1), т. е. eD — оператор сдвига, переводящий f (t) в f (t + 1).

  Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Наиболее полно О разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве. Пусть А — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве . Комплексное число l называется собственным значением оператора А, если существует такой элемент х ¹ 0 из , что А (х) = lх; при этом х называется собственным вектором оператора А, отвечающим данному собственному значению. Число l называется регулярной точкой оператора А, если оператор (А + lЕ)–1 существует, определен на всем Н и ограничен; остальные значения l называется точками спектра оператора А. Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра называется непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.

  Оператор А* называется сопряженным к А, если скалярное произведение (Ax, у) = (х, А*у) для всех х и у из Н. Оператор А называется самосопряженным, если А = А*, и унитарным, если А* = А–1. Самосопряженные и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряженных и унитарных линейных преобразований n-мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ (математический).

  Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см. Компактность). Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счетного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому l ¹ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.

  Самосопряженный вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причем в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А.

  Неограниченные операторы. Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А называется линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н, если: 1) соответствие у = А (х) определено для всех х, принадлежащих некоторому линейному многообразию , называемому областью определения оператора A; 2) А (aх + by) = aА (х) + bA (y).

  Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, цилиндрические функции, Лежандра многочлены и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции определенных дифференциальных операторов.

  Нелинейные операторы. При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существенную роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 05.12.2021 04:24:08
04:08 Президент Финляндии призвал Запад считаться с интересами России
04:00 Apple подала в суд на ФАС России
03:50 Горный инженер назвал истинную причину взрыва на шахте «Листвяжная»
03:44 Российская ракета со спутниками Galileo стартовала с космодрома Куру
03:37 Иммунолог предсказал сроки начала новой волны коронавируса в России
03:34 Россиян озадачили шумные генераторы на московских улицах
03:15 Родители расстрелявшего четверых человек школьника лично купили ему оружие
03:04 Педофил дважды изнасиловал девочку в метро Петербурга
02:17 «План нападения» России на Украину оказался построен по лекалам НАТО
Больше новостей
СегодняСпорт «Сердце проваливается от страха» Сложнейшие элементы и постоянный риск: как гимнастика стала самым опасным видом спорта?
СегодняРоссия «Ненависть в глазах и словах» Ельцин, бунт и перемены: как шахтеры изменили историю России
СегодняЦенности «Эти люди знают, чего хотят» Какими богатствами владеет семья Нурсултана Назарбаева?
20:00, 4 декабря 2021 В Пентагоне подтвердили намерение России вторгнуться на Украину
02:53 Порошенко призвал Запад ввести «адские санкции» против России в случае агрессии
02:30 Однокурсница Оксимирона рассказала о его жизни во время учебы в Оксфорде
СегодняИз жизни «Он думал, что просто развлекается» Как эксцентричный аристократ устроил дуэль на ягодицах и стал отпетым преступником
СегодняИнтернет и СМИ VPN-сервисы были призваны помочь пользователям. Как их использование стало губительным для компаний и обычных людей?
02:44 Дагестанский водитель прокатил сотрудника ДПС на капоте и попал на видео
19:04, 4 декабря 2021 Пьяную пассажирку сняли с рейса Москва — Стамбул
02:02 Депутат Толстой опроверг свою принадлежность к антипрививочникам
4 декабря 2021Силовые структуры «Мы держали оборону трое суток» Как телохранители защищали Горбачева от заговорщиков, воров в законе и террористов
4 декабря 2021Путешествия «Никогда не видела ничего подобного» Россиянка ездит по стране в поисках заброшенных построек. Чем они ее вдохновляют?
02:33 Элитный ЖК в Москве по силе ветра сравнили с побережьем Гудзона
18:51, 4 декабря 2021 Ученые нашли нетипичный способ распознать диабет
01:53 Осужденной в Белоруссии россиянке Софье Сапеге предъявили обвинение
3 декабря 2021Из жизни «Это сродни охоте» Российский антиквар — о сокровищах за миллионы, пропадающих на чердаках и помойках
4 декабря 2021Мир Синдром Риттенхауса. Как белый подросток безнаказанно застрелил BLM-активистов и поставил США на грань расового конфликта
02:11 Генетик оценил эффективность антител после дельта-штамма против омикрона
01:36 Россиян расстроило закрытие несетевых магазинов в Москве
01:42 Глава Пентагона ушел от вопроса о возможности вторжения России на Украину
3 декабря 2021Россия «Может начаться исход врачей» Почему российские медики боятся за свою свободу: Леонид Рошаль о новом «деле врачей»
2 декабря 2021Экономика Новый порядок. Войны, власть женщин и путь к вечной жизни — самый невероятный экономический прогноз на 2022 год
01:27 Захарова высмеяла «план нападения» России на Украину
01:19 Пожилой священник из Греции назвал еретиком папу Римского
01:10 Белый дом подтвердил дату переговоров Путина и Байдена
4 декабря 2021Наука и техника Гаджеты научились заряжать прямо через вышки 5G. Как новое поколение сотовой связи изменит жизнь людей?
4 декабря 2021Культура Бесславная охота. В прокат вышло продолжение «Охотников за привидениями». Почему это полный провал?
01:02 Вирусолог назвал условие для введения локдауна в России после Нового года
00:59 «Блатной» номер продали на аукционе в Туле за 47 миллионов рублей
00:52 Росгвардейцы спасли детей из горящей школы
3 декабря 2021Бывший СССР «Украина вечно стреляет себе в ногу» Чем обернется для украинцев очередное обострение конфликта между Москвой и Киевом?
3 декабря 2021Россия У двух прибывших из ЮАР россиян выявили коронавирус. Омикрон мог попасть в страну. Туристов проверяют медики
00:50 Автопарк полиции Дубая пополнился двумя суперкарами
00:56 АвтоВАЗ объяснил, почему Granta нельзя называть бюджетным автомобилем
00:40 Посол США раскрыл способ избежать «трагического насилия» на Украине
3 декабря 2021Культура 10 лучших книг зимы: Великая эпидемия, эротика еды и Квентин Тарантино
2 декабря 2021Путешествия «Мы были мишенью» Россияне путешествуют в Афганистан и подвергают свою жизнь опасности. Что ими движет?
00:43 Toyota добавила кроссоверу Corolla новую систему полного привода
00:38 Тихонов призвал выгнать из сборной отказавшегося выходить на старт биатлониста
00:25 Мужчина экстренно посадил самолет на мосту и попал в аварию с грузовиком
4 декабря 2021Россия «Пришлось закладывать новый заряд взрывчатки» Зачем 90 лет назад взорвали Храм Христа Спасителя
2 декабря 2021Культура Снова к нам приходят. Возвращение «Звездных войн», «Ведьмака» и «Секса в большом городе» в лучших сериалах декабря
00:35 Иностранный художник назвал общие черты русских и исландцев
00:19 Пушилин назвал число граждан России среди жителей ДНР
00:09 Российский дипломат сравнил Тихановскую с героем анекдота
2 декабря 2021Россия Жизнь после COVID-19. Россиянам, переболевшим коронавирусной инфекцией, рекомендована медицинская реабилитация
2 декабря 2021Россия «Зря вы шахтеров ищете. Они умерли» Как и почему 51 человек погиб в «Листвяжной». Репортаж с места трагедии
23:55, 4 декабря 2021 В российском регионе завелся выжигатель домофонов
23:37, 4 декабря 2021 Жители Москвы назвали современный город чужим и холодным
23:46, 4 декабря 2021 Навка высказалась о трансгендерах в фигурном катании
23:15, 4 декабря 2021 Глава ДНР назвал ситуацию в регионе одной из самых серьезных с 2014 года
22:38, 4 декабря 2021 Создатели «Санта-Барбары» рассказали о съемках сериала в Москве в 1991 году
23:35, 4 декабря 2021 В турецком городе предотвратили теракт на митинге с участием Эрдогана
23:21, 4 декабря 2021 Антон Миранчук рассказал о желаемом клубе для брата
22:31, 4 декабря 2021 Глава Audi потребовал прекратить добывать ископаемое топливо
23:07, 4 декабря 2021 Росавиация раскрыла детали инцидента со сменой курса лайнера из-за самолета НАТО
22:25, 4 декабря 2021 Глава ДНР призвал Зеленского начать переговоры о «соседстве» с Украиной
23:00, 4 декабря 2021 Причину смены направления пассажирским самолетом в Черном море объяснили
21:56, 4 декабря 2021 Умер экс-депутат Госдумы Борис Мисник
22:30, 4 декабря 2021 Фото дома с башнями напомнило россиянам о легендарном фестивале советских времен
21:50, 4 декабря 2021 В Иране прогремел взрыв после запуска ракеты
22:29, 4 декабря 2021 Универсал Mercedes-AMG превратили в конкурента суперкару AMG GT