Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Огибающая

Огибающая (далее О) семейства линий на плоскости (поверхностей в пространстве), линия (поверхность), которая в каждой своей точке касается одной линии (поверхности) семейства, геометрически отличной от О в сколь угодно малой окрестности точки касания (см. Семейство линий, Семейство поверхностей). Уравнение О семейства линий на плоскости, определяемого уравнением f (х, у, С) = 0, содержащим параметр С, можно получить (в предположении, что f (х, у, С) имеет непрерывные частные производные 1-го порядка по всем трем аргументам), исключив параметр С из системы:

f (x, у, С) = 0, f "c, у, С) = 0.

  Это исключение, вообще говоря, дает не только О, но и геометрическое место особых точек линий семейства, т. е. точки, для которых одновременно f "x = 0, f "y = 0.

  Примеры (на плоскости): а) семейство окружностей радиуса R, центры которых лежат на одной прямой, имеет в качестве О пару прямых, параллельных линии центров и отстоящих от нее в ту и другую сторону на расстояние R (см. рис. 1); б) всякая кривая служит О для семейства своих касательных и семейства своих кругов кривизны; в) если в каждой точке кривой построить к ней нормаль, то для полученного семейства прямых О будет эволюта (см. Эволюта и эвольвента) данной кривой (на рис. 2 изображена эволюта эллипса).

  В пространстве для семейств поверхностей могут существовать О, касающиеся поверхностей семейства в точках или же вдоль некоторых линий. Примеры: а) семейство сфер радиуса R с центрами, расположенными на одной прямой, имеет своей О круглый цилиндр радиуса R, ось которого есть линия центров (касание цилиндра с каждой сферой — по окружности); б) семейство сфер радиуса R, центры которых лежат в одной плоскости, имеет О пару плоскостей, параллельных плоскости центров и отстоящих от нее в ту и другую сторону на расстояние R (касание плоскостей каждой сферой — точке).

  Понятие О имеет значение не только в геометрии, но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений), теоретической физики (в оптике — каустика, фронт волны).

  Лит.: Толстов Г. П., К отысканию огибающей семейства плоских кривых, "Успехи математических наук", 1952, т. 7, в. 4; Ла Валле-Пуссен Ш.-Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 2, Л. — М., 1933; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 17.08.2017 05:03:29


23:45 Первый канал закрыл проект Юлии Меньшовой «Наедине со всеми»
03:42 Российские специалисты оценят ситуацию с вирусом Коксаки в Турции
02:25 Россия запустила с Байконура в космос военный спутник
01:58 Столичный район Северное Медведково заволокло дымом
01:49 «Реал» во второй раз обыграл «Барселону» и выиграл Суперкубок Испании
00:09 Русский «Доктор Хаус» заставил россиян возненавидеть отечественное телевидение