Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Обратная функция

Обратная функция (далее О), функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О для у = ax + b (а¹0) является х = (у-b)/a, О для у = ех является х = ln у и т.д. Если х = j(y) есть О по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О по отношению к х = j(y). Областью определения О является область значений данной функции, а областью значений О- область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х-b)/a, у = ех и у =  ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х2 и ). Для однозначности О необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

  Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область ее определения на участки ее монотонности, получают однозначные ветви О Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал - p/2< x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j(f (x))=x и f (j(x)) = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе - для всех значений х из области определения функции j (x); например, elnx = х (х > 0), 1n (ex) = х (- ¥ < х < ¥). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f- -1(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

  -1(f (x))=f (f  -1) x))=x.

  Вообще же f --1(f (x)) представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x2, х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f --1(f (x)) = √x2 (другое: -х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f- -1(f (x)) = Arc sin (sin x) = (-1) n x + np,

n = 0, ± 1, ± 2,....

  Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x0 и дифференцируема при х = x0, причем f"(x0) ¹ 0, то f --1(y) дифференцируема при у = у0 и



(формула дифференцирования О). Так, для -p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f`(x) = cos х ¹ 0 и f- -1(y)= arc sin у (-1< y <1) дифференцируема, причем



где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для -p/2 <  х <  p/2).

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.01.2022 14:16:32
14:12 В Минспорта прокомментировали проблему с вылетом российских биатлонисток в Пекин
14:06 Мужчина пытался побрить налысо и изрезать девушку за отказ встречаться с ним
14:04 Назван влияющий на стоимость отдыха в Сочи фактор
14:02 На Украине захотели ввести санкции против телеканала «пророссийского лидера»
14:00 Медведев объяснил зависимость Евросоюза от США из-за НАТО
14:00 Мишустин сообщил о новой функции госуслуг по сертификатам вакцинации от СOVID-19
14:00 Медведев рассказал о необходимости наладить отношения с Европой
13:59 МВД проверило московскую школу после ареста бывшего дипломата США за наркотики
13:58 Россиян предупредили о повышении хакерской угрозы
13:56 Стала известна вероятная причина смерти россиян после обследования желудка
13:55 В России оценили новую позицию США по санкциям против Путина
12:56 Кремль ответил на идею помочь Донбассу оружием
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «При виде ребенка в них просыпается зверь» Педофилов в России ждет пожизненный срок. Почему эта мера не остановит их?
СегодняМир США и НАТО ответили на предложения России по безопасности. Запад отказался идти на уступки и сделал встречные предложения
СегодняМир Последний маршал. «Исламское государство» бросает вызов талибам в Афганистане. Кого поддержит легендарный командир?
13:53 Работу с веществом для обследования желудка остановили после смерти трех россиян
13:53 iPhone превратят в платежный терминал
13:52 В правительстве прокомментировали посты в «Instagram Мишустина»
СегодняИнтернет и СМИ «Внутри меня постоянно идет борьба» Блогер с шизофренией описывает жизнь с расстройством. Почему за ним следят миллионы?
СегодняКультура Ведьма-философ, каннибал-комедия и полицейское государство: самые страшные фильмы «Сандэнса»-2022
13:52 В Подмосковье главу регионального управления Росимущества задержали за взятку
13:51 Кремль опроверг недопуск блокадников на кладбище Петербурга из-за визита Путина
13:44 Афганское ополчение заявило о переходе войны в новую фазу
26 января 2022Бывший СССР

Популярное видео

«Украинское общество готово к драке» Почему в республиках бывшего СССР не прекращаются войны и цветные революции?
26 января 2022Россия Как лечить COVID-19 дома. Инструкция Минздрава для тех, у кого болезнь протекает в легкой форме
13:39 Лжебанкир выманил более полутора миллионов рублей у женщины в Москве
13:37 Максим Фадеев назвал Ольгу Бузову жертвой собственных продюсеров
13:33 Кремль отреагировал на требование омбудсмена Чечни исключить из СПЧ Каляпина
26 января 2022Наука и техника «За фасадом сверхдержавы скрывался жестокий и слабый режим» Как Сталин начал новые репрессии после окончания войны
26 января 2022Ценности Телефоны-раскладушки, кричащая сексуальность и тату на пояснице: как зумеры возвращают в моду стиль своих родителей?
13:31 Коби Брайанту и его дочери установили памятник на месте их гибели
13:30 Путин посетил могилу умершего в блокаду брата
13:29 Девочка застряла под землей из-за двух огромных змей и заплакала
26 января 2022Культура Голливудская цыпа. Мел Гибсон сыграл усатую пародию на самого себя в новом детективе. Что из этого вышло?
26 января 2022Среда обитания Зерна катастрофы. Глобальное потепление угрожает существованию кофе. Что будут пить по утрам миллионы людей?
13:27 Гендиректор «Дождя» вышла в свет в прозрачной водолазке без нижнего белья
13:26 Россия собралась заработать на проблемах Китая
13:26 Суд изменил приговор за убийство адвоката Маркелова и журналистки Бабуровой
25 января 2022Бывший СССР «Война начинает управлять сама собой» Что стоит за очередным обострением украинского кризиса и какую угрозу он несет?
25 января 2022Россия Навального внесли в список террористов и экстремистов. В реестр также попали его соратники — у них заблокируют счета
13:26 После убийства на «Южмаше» возбуждено дело о халатности руководства Нацгвардии
13:25 Токаев сообщил о полной стабилизации ситуации в Казахстане
13:22 Россияне урезали суммы ипотеки
25 января 2022Силовые структуры Служба мечты. Как гаишник из российской глубинки заработал на особняки, земельные участки и 22 квартиры
25 января 2022Из жизни «Тут я и узнала, что ад на земле существует» История россиянки, которая перебралась в Италию и увидела ее с иной стороны
13:20 Канада выделит Украине военную помощь на сотни миллионов долларов
13:18 Россия добьется разъяснений «лукавой» позиции США по теме нерасширения НАТО
13:16 Вылетевший на тротуар российский таксист сбил девушку и попал на видео
25 января 2022Мир Замерзшие американцы и пленные коммунисты. Редкие кадры «забытой» войны в Корее на снимках лейтенанта армии США
25 января 2022Культура Попали в «Миротворец». Режиссер «Отряда самоубийц» снял антигеройский сериал с Джоном Синой. Чем он хорош?
13:16 Лавров напомнил о согласованном с Украиной ответе США по гарантиям безопасности
13:10 Блогерша разоблачила популярный лайфхак о «Макдоналдсе»
13:10 Джонсона упрекнули в спасении животных вместо афганских союзников
25 января 202269-я параллель Затерянные во льдах. Полярные станции СССР и России 80 лет дрейфовали на льдинах. Что придет им на смену?
24 января 2022Россия «Ну че ты, Коля, плачешь?» Ради чего полицейские создают героиновые притоны по всей России?
13:10 Около 500 застрявших в Стамбуле россиян вывезли на родину
13:10 Предложение США заменить российский газ посчитали наивным
13:05 Опубликован список убитых при стрельбе в Днепре
24 января 2022Экономика «Чтобы не стать посмешищем на весь мир» Почему российские власти против запрета криптовалют вопреки позиции ЦБ?
24 января 2022Путешествия «Мусульмане обстреливали машины» Россиянин отправился в миролюбивую Индию. С какими внезапными трудностями он столкнулся?
13:04 Экс-глава СБР объяснил снятие биатлонистов с рейса в Пекин разгильдяйством
13:01 Президент Литвы попросил НАТО «не бряцать оружием» из-за Украины
12:59 В США предупредили о возможности Великобритании уничтожить корабли ВМФ России
24 января 2022Мир Борис, ты не прав! Как вечеринки британского премьера в разгар пандемии испортили его репутацию и политическую карьеру
СегодняЭкономика Путь пробирки. Как работает современная система лабораторий?
12:59 Лондон выразил готовность направить больше военных в НАТО для сдерживания России
12:57 В Кремле ответили на вопрос о дальнейших контактах Путина и Байдена
12:56 Назван способ сэкономить время в пробке по пути на работу в Москве
24 января 2022Культура Легендарный абортарий, голливудские дочки и мать тиктокера: как начался фестиваль «Сандэнс»
12:56 В Кремле оценили перспективу отъезда посла России из США
12:54 Путин лично прочитал ответ США по гарантиям безопасности
12:54 В Белоруссии признали экстремистами издателей «Нашей нивы»
12:54 В Кремле высказались об ответе США по гарантиям безопасности
12:54 Песков сравнил отношения России и Запада с холодной войной
12:53 Кремль признал невозможность остановить распространение омикрона
12:52 Расстрелявший сослуживцев украинский солдат сам сдался полиции
12:50 Кремль прокомментировал решение Путина посетить Турцию
12:47 Лавров прокомментировал ответ США на предложения по гарантиям безопасности
12:47 Россия обнародует ответ США на предложения по гарантиям безопасности
12:46 Лавров рассказал об оставшемся без ответа США пункте предложений по безопасности
12:45 15-летняя американка начала учить якутский язык
12:41 Нежелание США обнародовать ответ на предложения России объяснили
12:40 В ЛНР оценили угрозу применения комплексов Javelin украинской армией
12:40 Франция отправит в Румынию экспертов для подготовки миссии НАТО
12:39 Ведущий Первого канала показал свою квартиру
12:39 Жительница села в Якутии сняла на видео северное сияние
12:38 Инфекционист оценил вероятность появления способного вытеснить омикрон штамма
12:38 Звезда сериала «Мелроуз Плейс» Морган Стивенс найден мертвым
12:38 Зеленский прокомментировал расстрел сослуживцев солдатом-срочником
12:34 В посольстве прокомментировали избиение россиянина в Египте
12:33 Миранчуком заинтересовались в «Лацио»
12:32 Девушки без шеи на показе модного бренда стали мемом в соцсетях
12:30 Россиянам назвали сроки спада заболеваемости омикрон-штаммом
12:27 В США увидели выгоду Китая от кризиса на Украине
12:27 Получены новые доказательства жидкой воды на полюсе Марса
12:26 Медведев понадеялся на сотрудничество с США в борьбе с «русскими хакерами»
12:24 Названы самые щедрые американские миллиардеры
12:24 В Якутии создали образовательную платформу для изучения родных языков
12:23 Избитый до полусмерти в Египте россиянин рассказал об отказе в помощи от МИД
12:20 Россиянина обвинили в шпионаже в Германии
12:19 Семь пар близнецов родились в больнице за одни сутки
12:18 В МВД Украины прокомментировали инцидент со стрельбой в Днепре
12:17 Шнуров высмеял введение Fan ID в новой песне
12:08 Леонардо Ди Каприо продал неизвестному купленный у Моби дом
12:04 Названо неожиданное последствие антироссийских санкций