Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Нормальная (жорданова) форма матриц

Нормальная (жорданова) форма матриц (далее Н). С каждой квадратной матрицей   связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму (термин "Нормальная (жорданова) форма матриц (ж.) ф. м." связан с именем К. Жордана). На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

   (1)

  Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведенной схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l - l1)4, (l - l2)2, (l - l3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется ее жорданова форма.

  Если матрица А имеет жорданову форму , то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

  Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:





……………………………………….



  в матричной записи:

 

Введем новые неизвестные функции y1, у2,... yn при помощи неособенной матрицы  (tik - числа (i, k = 1, 2, …, n)):

  ,

,

…………………………………….

;

  в матричной записи:

  х = Ту.

  Подставляя это выражение для x в (2), получим:

 

  где матрица связана с матрицей А равенством:

  А=TIT-1.

  Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица  имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

  , ,

, ,

, ,

, .

Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.

  Лит. см. при ст. Матрица.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 19.08.2017 00:57:44


23:33 В США заявили о начале расследования против Китая
22:58 Цукерберг вновь уйдет в декретный отпуск
20:58 Киев возмутился приездом Путина в Севастополь
20:26 Путин предложил создать в Херсонесе русскую Мекку
19:49 PornHub предложил Навальному выкупить видео его жены
00:20 Женщины-арбитры впервые обслужат мужской турнир под эгидой ФИФА