Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неявные функции

Неявные функции (далее Н) функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение

  x2 + y2 - 1 = 0

задает Н

  y = у (х),

соотношения

  x = rcosjsinJ, y = rsinjsinJ, z = rcosJ

задают Н:

  r = r(x, у, z), j = j(x, y, z), J = J(х, у, z).

В простейших случаях соотношения, задающие Н, могут быть разрешены в классе элементарных функций, т. е. удается найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведенных выше примеров имеем:



а во втором:



  Вообще же таких элементарных функций найти не удается. Н могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задает Н Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x2 + y2 + 1 = 0 не задает Н, так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же exy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н в ее простейшей формулировке утверждает, что если функция (x, y) обращается в нуль при паре значений х = x0, у = y0 ( (x0, y0) ¹ 0) и дифференцируема в окрестности точки (x0, y0), причем `x (х, у) и `y (х, у) непрерывны в этой окрестности и `y (x0, y0) ¹ 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х), удовлетворяющая соотношению (x, y) = 0 и обращающаяся в y0 при x = x0; при этом y"(x) = —`x (x, y)/`y (x, у).

  Для приближенного вычисления значений Н вблизи точки x0, где ее значение y0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если (x, у) аналитическая функция (т. е. может быть разложена в окрестности точки (x0, y0) в сходящийся двойной степенной ряд) и `y (x0, y0) ¹ 0, то Н, заданная соотношением (x, y) = 0, может быть получена в виде степенного ряда



сходящегося в некоторой окрестности точки х = х0. Коэффициенты ck, k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение (x, у) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н задана соотношением

  y5 + xy - 1 = 0, x0 = 0, y0 = 1,

то



и



откуда

c0 = 1, c1 = —1/5c0-3, c2 = —2c12c0-11/5c1c0-4 = —1/25 и т.д.

  Если соотношение (x, у) = 0 может быть представлено в виде у = а + хj(у), где j(y) — аналитическая функция, то Н у = у (х), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа



сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + xsiny (так называемое Кеплера уравнение) можно получить:



  Вычисление значений Н в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.08.2017 17:23:33


16:59 Минобразования Украины обратилось в СБУ из-за поездки школьников в Россию
16:56 Залп из «космической пушки» показали на видео
16:56 В Узбекистане приготовили шесть тонн плова
16:55 Турист в Дубае умер после передозировки «Виагрой»
16:55 Пропавший в Москве певец Осин нашелся в реабилитационном центре
16:42 Актер из «Твин Пикса» арестован за покушение на убийство возлюбленной