Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неравенства (матем.)

Неравенства (далее Н) (математические), соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н (матем.) употребляется знак <, обращенный острием к меньшему числу. Так, соотношения 2 > 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда несколько Н (матем.) записываются вместе (например, а < b < с). Желая выразить, что из двух чисел а и b первое или больше второго, или равно ему, пишут: а ³ b (или b £ а) и читают: больше или равно b" (или "b меньше или равно а") либо короче: "а не меньше b" (или "b не больше а"). Запись а ¹ b означает, что числа а и b не равны, но не указывает, какое из них больше. Все эти соотношения также называются Н (матем.)

  Н (матем.) обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Н (матем.) остается справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножать обе части Н (матем.) на одно и то же положительное число. Однако если обе части Н (матем.) умножить на отрицательное число, то смысл Н (матем.) изменится на обратный (т. е. знак > заменяется на <, а < на >). Из неравенства А < В и С < D следует А + С < В + D и А - D < В - С, т. е. одноименные Н (матем.) (А < В и С < D) можно почленно складывать, а разноименные Н (матем.) (А < В и D > С) — почленно вычитать. Если числа А, В, С и D положительны, то из неравенств А < В и С < D следует также AC < BD и A/D < В/С, т. е. одноименные Н (матем.) (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноименные — почленно делить.

  Н (матем.), в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство x24x + 3 > 0 верно при х = 4 и неверно при х = 2. Для Н (матем.) этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Н (матем.) величины для того, чтобы Н (матем.) были справедливы. Так, переписывая неравенство x24x + 3 > 0 в виде: (х — 1)(х — 3) > 0, замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: х < 1, х > 3, которые и являются решением данного Н (матем.)

  Укажем несколько типов Н (матем.), выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1)   Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a1, a2,..., an справедливо Н (матем.)

|a1 + a2 + … + an £ a1| + a2 +... + an|.

  2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н (матем.), связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:



  3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н (матем.) Вида

ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn (bi ³ i = 1, 2,..., m).

  Совокупность решений этой системы Н (матем.) представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n-мepном пространстве (x1, x2,..., xn); задача теории линейных Н (матем.) состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н (матем.) тесно связаны с теорией наилучших приближений, созданной П. Л. Чебышевым.

  См. также Бесселя неравенство, Буняковского неравенство, Гельдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.

  Н (матем.) имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения полностью основан на Н (матем.); аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н (матем.) В алгебре дается аксиоматическое обоснование Н (матем.); линейные Н (матем.) играют большую роль в теории линейного программирования. В геометрии Н (матем.) постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах. В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н (матем.) (см., например, Чебышева неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Н (матем.) (см., например, Чаплыгина метод). В теории функций постоянно употребляются различные Н (матем.) для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н (матем.) треугольника

||х + у|| £ ||x|| + ||y||.

  Многие классические Н (матем.) в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.

  Лит.: Коровкин П. П., Н, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Н, пер. с англ., М., 1948.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.01.2021 20:06:33
19:57 Очевидица схода лавины в Домбае рассказала о пережитом
19:52 В США заметили активное вмешательство Китая в американские выборы
19:51 Москвичи выстроились в очередь за прививкой от коронавируса в ГУМе
19:43 Женщины обнаружили неожиданное различие в одинаковых платьях популярного бренда
19:38 В России водитель троллейбуса ранил кондуктора саблей при «посвящении в рыцари»
19:35 Голодный слон насмерть затоптал отдыхавшего в лесу пенсионера
19:34 Названа причина эвакуации Капитолия
19:29 Ценам на популярный вид жилья предрекли рост после поручения Путина
19:07 В IIHF объяснили лишение Белоруссии права проведения чемпионата мира
Больше новостей
СегодняПутешествия Лавина обрушилась на людей в Домбае. Есть погибшийЧто известно о происшествии на популярном горнолыжном курорте России
СегодняБывший СССР Диктатура в законеВ Киргизии завершилась революция, президентом стал бывший арестант. Куда поведет страну новый лидер?
СегодняМир «Адская битва и невероятное приключение»Трамп спровоцировал мятеж в Вашингтоне. Что ждет США после его ухода?
19:24 Раскрыта причастность чиновника ФСО к хищению денег на стройке резиденции Путина
19:12 Летевший из России в Дубай бизнес-джет подал сигнал бедствия сразу после взлета
19:29 Познер констатировал долгосрочный ущерб имиджу США
СегодняИнтернет и СМИ Троянский коньНапуганные новой политикой WhatsApp люди ринулись в Telegram и Signal. Но так ли они безопасны?
СегодняЦенности Чемпионы стиляКак одежда помогает спортсменам зарабатывать миллионы спустя десятилетия после их побед
18:56 Пригожин предложил отправить Моргенштерна на «Евровидение»
18:49 В России 48-летнюю «Волгу» решили продать за миллионы рублей
18:53 В Подмосковье 91-летнего мужчину привили от коронавируса
17 января 2021Путешествия «Местные не осуждают любовь за деньги»Шашлычные, цыганки и русские в джунглях: что искать туристу в Колумбии?
15 января 2021Из жизни Пацанка ДжоИстория жизни королевы тропического острова, любовницы Марлен Дитрих и самой быстрой женщины на воде
18:57 Капитолий эвакуировали из-за пожара в лагере бездомных
18:48 Российские врачи спасли девочку с поражением всего организма после коронавируса
18:34 Бесследно пропавший в российском аэропорту кот нашелся спустя почти полгода
СегодняКультура «В борьбе за власть изуродовали Москву»Как СССР начал отрицать прошлое и до неузнаваемости изменил сознание людей
СегодняМир Красный закатСССР давал африканским странам миллиарды на борьбу с Западом. Почему эти деньги были потрачены зря?
18:35 Жители российского города обнаружили в квартире соседа мумию
18:25 В Турции появятся представительства Facebook и Instagram
18:19 Российский врач объяснила первый случай рождения ребенка с антителами к COVID-19
Сегодня Мы их потеряли: автомобильные марки США, которых больше нетПережили XX век, но исчезли в двадцать первом. Вспоминаем ликвидированные американские компании
Сегодня Партнерский материалПризраки прошлогоМедаль за пьянство, налог на воздух и советское равноправие: самое удивительное из истории России
17:49 В «Векторе» оценили распространенность российского штамма коронавируса
18:24 Задержанный ФСБ за подготовку теракта в Москве пойдет под суд
17:46 Названа средняя стоимость квартиры в Санкт-Петербурге
17 января 2021Россия «Чтобы выжить, необходимо было отказаться от смелости»СССР пытался создать поколение мужчин-героев. Что из этого вышло?
17 января 2021Из жизни «Страдания открыли мне великую истину»Женщина семь лет искала автора письма в бутылке и нашла. Ей помогали детективы и экстрасенсы
18:02 В Болгарии родился ребенок с антителами против коронавируса
17:27 Объявлена дата премьеры нового Renault Duster в России
17:58 Момент схода накрывшей людей лавины в Домбае сняли на видео
14 января 2021Силовые структуры «Он кричал от боли, лежа в багажнике»Украинский криминальный авторитет сбежал от СБУ в Россию. Но его похитили и скормили свиньям
16 января 2021Спорт «Меня называли сексом на коньках»История немецкой фигуристки, которая выиграла Олимпиаду, снялась для Playboy и отказала Трампу
17:20 В продолжении «Секса в большом городе» появятся афроамериканка и азиатка
17:58 Украина обвинила Россию в уничтожении европейской безопасности
16:49 Названа причина схода лавины на людей на популярном курорте России
16 января 2021Ценности «Влюбила в себя султана»Как правитель Малайзии женился на российской модели и с чем оставил ее и сына после развода
17 января 2021Наука и техника Нам бы их проблемыСмартфон-рулон, умный унитаз и датчик мочевого пузыря: самые странные изобретения 2021 года
17:35 Российская фигуристка решила развестись через несколько месяцев после свадьбы
16:46 Инвалидам на колясках пришлось самим чистить снег в российском городе
17:31 ВОЗ призвала готовиться к 100 тысячам смертей от коронавируса в неделю
16 января 2021Культура Возвращая в реальностьРадиоактивные кошки, микробы и Линч: американка руками создает скульптуры, похожие на 3D-модели
16 января 2021Силовые структуры Смерть на обочинеДерзкое нападение на инкассаторов в Крыму потрясло СССР. Прошло полвека, а виновных так и не нашли
16:33 Семилетний сын Кейт Уинслет захотел стать «актрисой»
17:09 Скалолаз на инвалидной коляске залез на 250-метровый небоскреб
16:32 ФИФА поддержала отказавшегося выступать за сборную Белоруссии игрока ЦСКА
16 января 2021 Rolls-Royce Ghost: привидение с моторомВидео: это начальная модель Rolls-Royce — и она стоит 37 миллионов рублей
16 января 2021Мир Хайль КришнаКак греческая писательница шпионила на Германию, приняла индуизм и объявила Гитлера воплощением бога
16:57 В Калифорнии захотели отказаться от поставки вакцины Moderna из-за аллергии
15:43 Появилось видео с места схода лавины на популярном горнолыжном курорте России
16:54 Создатель «Дома-2» решил выкупить проект у ТНТ
17 января 2021 13 самых популярных кроссоверов года в РоссииНа какие кроссоверы и внедорожники пересаживались россияне в ушедшем году
16 января 2021Экономика Последний звонокОни были на вершине мобильного рынка. Кто потопил производителей культовых телефонов?
15:33 Байден отменит введенные Трампом ограничения на аборты
16:29 Архангельскую область переведут на раздельный сбор мусора
15:30 Кейт Миддлтон надела старый пиджак на конференцию и вызвала споры у зрителей
15 января 2021Культура Мальчишкам и девчонкамСоздатель «Ералаша» Борис Грачевский умер от коронавируса. Что он думал о юморе, детях и славе?
15 января 2021Бывший СССР Нет словВ Киеве решились окончательно разорвать связь с Россией. Украинцам запретят говорить по-русски
16:15 Самка жирафа случайно наступила на новорожденного детеныша и погубила его
15:18 В России начнут регулировать цены еще на один товар
15:32 Дуэйн Джонсон избавится от своего поместья и понесет миллионные убытки
14 января 2021Интернет и СМИ «Потому что мы банда!»Умер Борис Грачевский. На его киножурнале «Ералаш» выросло несколько поколений
15 января 2021Дом Дальше — большеКвартиры в России беспрецедентно подорожали. Что будет с ценами в 2021 году?
14:58 Джастин Тимберлейк подтвердил рождение второго ребенка спустя полгода
14:52 Россиянам пообещали снижение ставок аренды жилья