Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неравенства (матем.)

Неравенства (далее Н) (математические), соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н (матем.) употребляется знак <, обращенный острием к меньшему числу. Так, соотношения 2 > 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда несколько Н (матем.) записываются вместе (например, а < b < с). Желая выразить, что из двух чисел а и b первое или больше второго, или равно ему, пишут: а ³ b (или b £ а) и читают: больше или равно b" (или "b меньше или равно а") либо короче: "а не меньше b" (или "b не больше а"). Запись а ¹ b означает, что числа а и b не равны, но не указывает, какое из них больше. Все эти соотношения также называются Н (матем.)

  Н (матем.) обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Н (матем.) остается справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножать обе части Н (матем.) на одно и то же положительное число. Однако если обе части Н (матем.) умножить на отрицательное число, то смысл Н (матем.) изменится на обратный (т. е. знак > заменяется на <, а < на >). Из неравенства А < В и С < D следует А + С < В + D и А - D < В - С, т. е. одноименные Н (матем.) (А < В и С < D) можно почленно складывать, а разноименные Н (матем.) (А < В и D > С) — почленно вычитать. Если числа А, В, С и D положительны, то из неравенств А < В и С < D следует также AC < BD и A/D < В/С, т. е. одноименные Н (матем.) (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноименные — почленно делить.

  Н (матем.), в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство x24x + 3 > 0 верно при х = 4 и неверно при х = 2. Для Н (матем.) этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Н (матем.) величины для того, чтобы Н (матем.) были справедливы. Так, переписывая неравенство x24x + 3 > 0 в виде: (х — 1)(х — 3) > 0, замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: х < 1, х > 3, которые и являются решением данного Н (матем.)

  Укажем несколько типов Н (матем.), выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1)   Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a1, a2,..., an справедливо Н (матем.)

|a1 + a2 + … + an £ a1| + a2 +... + an|.

  2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н (матем.), связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:



  3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н (матем.) Вида

ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn (bi ³ i = 1, 2,..., m).

  Совокупность решений этой системы Н (матем.) представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n-мepном пространстве (x1, x2,..., xn); задача теории линейных Н (матем.) состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н (матем.) тесно связаны с теорией наилучших приближений, созданной П. Л. Чебышевым.

  См. также Бесселя неравенство, Буняковского неравенство, Гельдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.

  Н (матем.) имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения полностью основан на Н (матем.); аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н (матем.) В алгебре дается аксиоматическое обоснование Н (матем.); линейные Н (матем.) играют большую роль в теории линейного программирования. В геометрии Н (матем.) постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах. В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н (матем.) (см., например, Чебышева неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Н (матем.) (см., например, Чаплыгина метод). В теории функций постоянно употребляются различные Н (матем.) для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н (матем.) треугольника

||х + у|| £ ||x|| + ||y||.

  Многие классические Н (матем.) в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.

  Лит.: Коровкин П. П., Н, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Н, пер. с англ., М., 1948.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 08.12.2021 12:55:41
12:42 В Крыму отреагировали на саммит США и России фразой «американцы дали заднюю»
12:41 Попавших в трудную ситуацию россиян предложили отправить на кредитные каникулы
12:37 В российском лесу лыжники наткнулись на привязанную к дереву гранату
12:36 Посол Германии высказался об отношениях с Россией
12:36 Пенсии россиян заморозили
12:35 Названо условие проведения еще одной Олимпиады в России
12:33 Астронавт объяснил отсутствие американцев на Луне
12:32 Назван срок отказа Прибалтики от российской электроэнергии
12:16 Политтехнолог оценил результаты встречи Путина и Байдена
Больше новостей
7 декабря 2021Мир Путин и Байден обсудили вторжение на Украину. Президент США пригрозил России санкциями, но согласился на диалог
СегодняЭкономика Потеряли берега. Как Волочкова и тысячи россиян пытались заработать на акциях американских компаний, но потеряли миллионы
7 декабря 2021Моя страна «Этого задавила лошадь, а этот утонул молодым» Застолья, гулянья и голое селфи: история русской деревни на забытой пленке
12:10 16-летний юноша посетил дом с привидениями и умер от испуга
12:19 Угольным заводам нашли необычное применение
12:20 Белоруссия попросила Россию выдать автора экстремистских каналов
СегодняБывший СССР «Мы поняли, что можем все изменить» Станислав Шушкевич — о том, как встреча в Беловежской Пуще закончилась распадом СССР
СегодняЦенности «Я ненавидела, когда мне диктовали, что делать» Как первая арабская модель в истории покорила мир вопреки гневу отца
12:18 Раскрыты подробности об оружии устроившего стрельбу в МФЦ Москвы
11:29 Названа самая влиятельная женщина мира в 2021 году
12:18 Россиянам раскрыли способ избежать переедания в новогодние праздники
7 декабря 2021Силовые структуры Отставной офицер расстрелял сотрудников московского МФЦ из-за медицинской маски. Два человека погибли, трое ранены
7 декабря 2021Из жизни «Здесь любят Россию» История девушки, которая переехала в Испанию и помогает футболистам из России устроить свою жизнь
12:14 Дочь Трампа прошлась по улицам в мини-шортах и была обругана в сети
11:00 Диетолог назвала самый полезный для печени напиток
12:16 Вирусолог призвал запретить непривитым россиянам выезжать из страны
СегодняМоя страна «Они очень напоминают людей» Россиянин годами фотографирует животных: как сивучи, нерпы и лисы изменили его жизнь?
7 декабря 2021Россия «Самое ужасное — потерять ногу» Спасти Катю может только дорогая операция. Девочке нужна ваша помощь
12:11 Верховный суд разрешил штрафовать за отсутствие маски по фото
12:14 Суд отклонил иск Земфиры к Гришковцу за высказывания о ее творчестве
12:01 Белорусских и российских автодилеров проверят на сговор
7 декабря 2021Мир «Реакция будет жестче, чем в 2014-м» Европа боится вторжения России на Украину. Чем ответит ЕС на обострение конфликта?
5 декабря 2021Ценности «Эти люди знают, чего хотят» Какими богатствами владеет семья Нурсултана Назарбаева?
12:11 В Греции начнут штрафовать родителей за удержание детей от похода в школу
11:58 Российская пенсионерка сожгла рынок во время неудачного обряда очищения
12:01 Российский врач назвала способы отличить психически больного от антиваксера
7 декабря 2021Культура Англичанке гадят. Кристен Стюарт сыграла страдающую принцессу Диану в новом фильме. Что из этого вышло?
СегодняЭкономика «Индустрия управления активами будет опережать брокерский бизнес». Уверенный спрос населения на паевые фонды сохранится
11:49 Тезка стрелка из МФЦ нанял юристов из-за поступающих ему угроз
11:59 Собянин заявил о финансовой помощи раненному при стрельбе в МФЦ сотруднику
11:45 В МВД назвали возможную причину нападения на московский МФЦ
7 декабря 2021Моя страна У Пожарского в Торжке. Котлеты, пастила и классики: чем российский городок уже несколько веков привлекает туристов
7 декабря 2021Путешествия «Приезжих будут оберегать как своих» Жители Северного Кавказа — о туристах в открытой одежде и стереотипах о регионе
11:51 Россияне бросились скупать один вид недвижимости
11:44 Роскомнадзор заблокировал Tor в России
11:46 Турагент обманула сотню россиян на 10 миллионов рублей и пошла под суд
7 декабря 2021Наука и техника Место притяжения. Как интернет-торговля сделает жизнь миллионов людей лучше и поможет экономить
6 декабря 2021Культура Лучшая новая музыка: божественные близняшки, призраки бывших подружек и возвращение Placebo
11:43 Госдума законодательно разрешит полицейским вскрывать машины и квартиры
11:44 Volkswagen показал новый Amarok
11:42 В Индии разбился вертолет с главой Штаба обороны страны
6 декабря 2021Экономика США задумали отключить Россию от SWIFT. Чем грозит россиянам «чертовски агрессивный пакет» санкций?
6 декабря 2021Силовые структуры Бойцовые еноты. Как российские патриоты стали наемниками, связались с офицерами ФСБ и превратились в бандитов
11:43 В России выявили менее 31 тысячи случаев коронавируса
11:39 Объявлены самые непонятные россиянам явления 2021 года
11:41 Австралийская пловчиха рассказала о домогательствах тренеров
6 декабря 2021Наука и техника Говорит и показывает. Сбер выпустил умную колонку SberBox Time — на что она способна и зачем нужна
Сегодня «Китайцы» перешли в наступление: 15 популярных кроссоверов России В ноябре «китайцы» вошли в Топ-5 самых популярных SUV
11:38 «Яндекс» представил новую «Станцию»
11:32 Россиян предупредили о подорожании стройматериалов
11:31 Глава Крыма назвал Беловежское соглашение приговором СССР
СегодняЭкономика Ду ю спик казах? Казахстанцы защищаются от мошенников из Украины и России с помощью родного языка
7 декабря 2021Россия «Редко бываю на одном месте» Как выглядит квартира известного путешественника и документалиста
11:31 Американский сенатор заявил о ядерных бомбардировках России из-за Украины
11:28 Стало известно о планах объединения МХАТ имени Горького и МХТ имени Чехова
Сегодня Почему BMW M3 оказалась круче M4? Тест на треке! Сколько дверей и ведущих колёс должно быть у правильной «эмки»?
7 декабря 2021Экономика Партнерский материалНа машине по России. Открываем для себя страну на шинах Continental