Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Непротиворечивость

Непротиворечивость (далее Н) совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задается), состоящее в том, что из нее нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и Ø А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & Ø А É В ("из противоречия следует любое утверждение"), Н равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.

  Н, необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой "содержательной ситуации", отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей "классических" направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории) Н служит если и не обоснованием "существования" описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией "ситуация" лежит вне самой теории, данное выше понятие Н, которое можно назвать "внутренней" (иначе -синтаксической, или логической) Н, тесно связано с так называемой "внешней" (семантической) Н, заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею "действительности". Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н равносильны лишь для таких "бедных" логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией "действительности" может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н исходной теории можно понимать как ее относительную Н, а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для нее доказательством относительной Н

  В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счете множеств теория. Однако обнаружение в теории множеств парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н, - в некотором смысле "абсолютных". (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н только для аксиоматической теории множеств (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого ее фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный "универсум" (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации, а полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет их синтаксической Н так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гедель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н и полноты оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н по-прежнему остается важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.

  Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.

  Ю. А. Гастев.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.01.2022 14:05:15
13:53 После смерти трех проходивших обследование желудка петербуржцев начали проверку
13:53 iPhone превратят в платежный терминал
13:52 В Подмосковье главу регионального управления Росимущества задержали за взятку
13:51 Кремль опроверг недопуск блокадников на кладбище Петербурга из-за визита Путина
13:44 Афганское ополчение заявило о переходе войны в новую фазу
13:39 Лжебанкир выманил более полутора миллионов рублей у женщины в Москве
13:37 Максим Фадеев назвал Ольгу Бузову жертвой собственных продюсеров
13:33 Кремль отреагировал на требование омбудсмена Чечни исключить из СПЧ Каляпина
13:31 Коби Брайанту и его дочери установили памятник на месте их гибели
13:30 Путин посетил могилу умершего в блокаду брата
13:29 Девочка застряла под землей из-за двух огромных змей и заплакала
13:27 Гендиректор «Дождя» вышла в свет в прозрачной водолазке без нижнего белья
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «При виде ребенка в них просыпается зверь» Педофилов в России ждет пожизненный срок. Почему эта мера не остановит их?
СегодняМир США и НАТО ответили на предложения России по безопасности. Запад отказался идти на уступки и сделал встречные предложения
СегодняМир Последний маршал. «Исламское государство» бросает вызов талибам в Афганистане. Кого поддержит легендарный командир?
13:26 Россия собралась заработать на проблемах Китая
13:26 Суд изменил приговор за убийство адвоката Маркелова и журналистки Бабуровой
13:26 После убийства на «Южмаше» возбуждено дело о халатности руководства Нацгвардии
СегодняИнтернет и СМИ «Внутри меня постоянно идет борьба» Блогер с шизофренией описывает жизнь с расстройством. Почему за ним следят миллионы?
СегодняКультура Ведьма-философ, каннибал-комедия и полицейское государство: самые страшные фильмы «Сандэнса»-2022
13:25 Токаев сообщил о полной стабилизации ситуации в Казахстане
13:22 Россияне урезали суммы ипотеки
13:20 Канада выделит Украине военную помощь на сотни миллионов долларов
26 января 2022Бывший СССР

Популярное видео

«Украинское общество готово к драке» Почему в республиках бывшего СССР не прекращаются войны и цветные революции?
26 января 2022Россия Как лечить COVID-19 дома. Инструкция Минздрава для тех, у кого болезнь протекает в легкой форме
13:18 Россия добьется разъяснений «лукавой» позиции США по теме нерасширения НАТО
13:16 Вылетевший на тротуар российский таксист сбил девушку и попал на видео
13:16 Лавров напомнил о согласованном с Украиной ответе США по гарантиям безопасности
26 января 2022Наука и техника «За фасадом сверхдержавы скрывался жестокий и слабый режим» Как Сталин начал новые репрессии после окончания войны
26 января 2022Ценности Телефоны-раскладушки, кричащая сексуальность и тату на пояснице: как зумеры возвращают в моду стиль своих родителей?
13:10 Блогерша разоблачила популярный лайфхак о «Макдоналдсе»
13:10 Джонсона упрекнули в спасении животных вместо афганских союзников
13:10 Около 500 застрявших в Стамбуле россиян вывезли на родину
26 января 2022Культура Голливудская цыпа. Мел Гибсон сыграл усатую пародию на самого себя в новом детективе. Что из этого вышло?
26 января 2022Среда обитания Зерна катастрофы. Глобальное потепление угрожает существованию кофе. Что будут пить по утрам миллионы людей?
13:10 Предложение США заменить российский газ посчитали наивным
13:05 Опубликован список убитых при стрельбе в Днепре
13:04 Экс-глава СБР объяснил снятие биатлонистов с рейса в Пекин разгильдяйством
25 января 2022Бывший СССР «Война начинает управлять сама собой» Что стоит за очередным обострением украинского кризиса и какую угрозу он несет?
25 января 2022Россия Навального внесли в список террористов и экстремистов. В реестр также попали его соратники — у них заблокируют счета
13:01 Президент Литвы попросил НАТО «не бряцать оружием» из-за Украины
12:59 В США предупредили о возможности Великобритании уничтожить корабли ВМФ России
12:59 Лондон выразил готовность направить больше военных в НАТО для сдерживания России
25 января 2022Силовые структуры Служба мечты. Как гаишник из российской глубинки заработал на особняки, земельные участки и 22 квартиры
25 января 2022Из жизни «Тут я и узнала, что ад на земле существует» История россиянки, которая перебралась в Италию и увидела ее с иной стороны
12:57 В Кремле ответили на вопрос о дальнейших контактах Путина и Байдена
12:56 Назван способ сэкономить время в пробке по пути на работу в Москве
12:56 В Кремле оценили перспективу отъезда посла России из США
25 января 2022Мир Замерзшие американцы и пленные коммунисты. Редкие кадры «забытой» войны в Корее на снимках лейтенанта армии США
25 января 2022Культура Попали в «Миротворец». Режиссер «Отряда самоубийц» снял антигеройский сериал с Джоном Синой. Чем он хорош?
12:54 Путин лично прочитал ответ США по гарантиям безопасности
12:54 В Белоруссии признали экстремистами издателей «Нашей нивы»
12:54 В Кремле высказались об ответе США по гарантиям безопасности
25 января 202269-я параллель Затерянные во льдах. Полярные станции СССР и России 80 лет дрейфовали на льдинах. Что придет им на смену?
24 января 2022Россия «Ну че ты, Коля, плачешь?» Ради чего полицейские создают героиновые притоны по всей России?
12:54 Песков сравнил отношения России и Запада с холодной войной
12:53 Кремль признал невозможность остановить распространение омикрона
12:52 Расстрелявший сослуживцев украинский солдат сам сдался полиции
24 января 2022Экономика «Чтобы не стать посмешищем на весь мир» Почему российские власти против запрета криптовалют вопреки позиции ЦБ?
24 января 2022Путешествия «Мусульмане обстреливали машины» Россиянин отправился в миролюбивую Индию. С какими внезапными трудностями он столкнулся?
12:50 Кремль прокомментировал решение Путина посетить Турцию
12:47 Лавров прокомментировал ответ США на предложения по гарантиям безопасности
12:47 Россия обнародует ответ США на предложения по гарантиям безопасности
24 января 2022Мир Борис, ты не прав! Как вечеринки британского премьера в разгар пандемии испортили его репутацию и политическую карьеру
СегодняЭкономика Путь пробирки. Как работает современная система лабораторий?
12:46 Лавров рассказал об оставшемся без ответа США пункте предложений по безопасности
12:45 15-летняя американка начала учить якутский язык
12:41 Нежелание США обнародовать ответ на предложения России объяснили
24 января 2022Культура Легендарный абортарий, голливудские дочки и мать тиктокера: как начался фестиваль «Сандэнс»
12:40 В ЛНР оценили угрозу применения комплексов Javelin украинской армией
12:40 Франция отправит в Румынию экспертов для подготовки миссии НАТО
12:39 Ведущий Первого канала показал свою квартиру
12:39 Жительница села в Якутии сняла на видео северное сияние
12:38 Инфекционист оценил вероятность появления способного вытеснить омикрон штамма
12:38 Звезда сериала «Мелроуз Плейс» Морган Стивенс найден мертвым
12:38 Зеленский прокомментировал расстрел сослуживцев солдатом-срочником
12:34 В посольстве прокомментировали избиение россиянина в Египте
12:33 Миранчуком заинтересовались в «Лацио»
12:32 Девушки без шеи на показе модного бренда стали мемом в соцсетях
12:30 Россиянам назвали сроки спада заболеваемости омикрон-штаммом
12:27 В США увидели выгоду Китая от кризиса на Украине
12:27 Получены новые доказательства жидкой воды на полюсе Марса
12:26 Медведев понадеялся на сотрудничество с США в борьбе с «русскими хакерами»
12:24 Названы самые щедрые американские миллиардеры
12:24 В Якутии создали образовательную платформу для изучения родных языков
12:23 Избитый до полусмерти в Египте россиянин рассказал об отказе в помощи от МИД
12:20 Россиянина обвинили в шпионаже в Германии
12:19 Семь пар близнецов родились в больнице за одни сутки
12:18 В МВД Украины прокомментировали инцидент со стрельбой в Днепре
12:17 Шнуров высмеял введение Fan ID в новой песне
12:08 Леонардо Ди Каприо продал неизвестному купленный у Моби дом
12:04 Названо неожиданное последствие антироссийских санкций
12:04 Приезжие избили и ограбили мужчину на детской площадке в Москве
12:03 Япония отреагировала на решение России перезахоронить останки разведчика Зорге
12:02 Популярного российского блогера избили и задержали в Египте
12:02 В России возбудили уголовное дело против бывшего сотрудника посольства США
12:00 Тренер сборной России сравнил условия на Олимпиаде с тюремными
12:00 Медведев рассказал о заготовке России на случай отключения от SWIFT
11:56 США отправили на Украину штурмовые гранатометы M141 BDM
11:54 В Госдуме заявили об опасной позиции США по гарантиям безопасности
11:54 В Израиле дружественным огнем ранили двух солдат
11:54 Депутаты Верховной Рады массово заболели COVID-19
11:53 Полиция задержала похитившую 26 миллионов рублей кассиршу российского банка
11:50 Бездомный мужчина тайно пробрался в самолет ради пива и сигарет
11:45 Оценена вероятность передачи нового коронавируса из ЮАР человеку