|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
![](/page/blank.gif) |
Непрерывная группа | Непрерывная группа (далее Н) математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М - множество элементов х какого-либо рода, например чисел, точек пространства, функций и т.п. Говорят, что имеется преобразование f множества М, если каждому элементу x из М поставлен в соответствие определенный элемент
y = f (x), (1)
также принадлежащий М; при этом предполагается, что для каждого у найдется такой элемент х, и притом единственный, который удовлетворяет уравнению (1). Т. о., уравнение (1) разрешимо относительно х:
x = f--1(y),
и f--1 также есть преобразование множества М. Преобразование f-1 называется обратным к преобразованию f. Преобразование е, переводящее каждый элемент х в себя, е (х) = х, называется тождественным. Если имеется два преобразования f и g, то последовательное их применение дает новое преобразование k:
k (x) = f (g (x)).
Преобразование k называется произведением преобразований f и g:
k = fg.
Умножение некоторого преобразования f на тождественное е не меняет его:
fe = ef = f. (2)
Произведение преобразования f на его обратное f--1 дает тождественное:
ff-1 = f-1f = e. (3)
Для любых трех преобразований имеет место ассоциативный закон:
(fg) h = f (gh). (4)
Совокупность всех преобразований множества М является группой. Можно, однако, рассматривать совокупность не всех преобразований, а любую такую совокупность преобразований, что наряду с каждым преобразованием в нее входит обратное к нему, а наряду с каждыми двумя - их произведение. Тогда мы также имеем группу преобразований (подгруппу группы всех преобразований множества М). Если множество М является непрерывной средой (топологическим пространством), точнее говоря, если известно, что значит
![](/img/17/egjhdimjg.gif)
где x1, x2,..., xn,... - некоторая последовательность элементов из М, а x также принадлежит М (как это имеет место, например, в множестве чисел или точек), то можно выделить непрерывные преобразования. Преобразование f называется непрерывным, если из (5) следует
![](/img/18/ehgjiemif.gif)
Множество всех непрерывных преобразований составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода: можно говорить о том, что некоторая последовательность преобразований сходится к преобразованию. При этом оказывается, что из
![](/img/17/egiigfkdl.gif)
следует
![](/img/17/egiffkkgh.gif)
Такая группа называется Н преобразований. Пусть М есть множество точек плоскости. Преобразование f называется движением плоскости, если для каждой пары точек х и у из М расстояние между х и у равно расстоянию между f (x) и f (y). Преобразование плоскости называется проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования является аффинное, при котором параллельные прямые переходят в параллельные. Здесь мы имеем три простейших геометрических примера Н преобразований: группу движений, группу проективных преобразований и группу аффинных преобразований. Если рассматривать те свойства геометрических фигур на плоскости, которые не меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию. Аналогично возникают геометрии проективная и аффинная, Ф. Клейном была выдвинута общая точка зрения (см. Эрлангенская программа), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. Отсюда - роль теории Н в геометрии. Примем за множество М всевозможные упорядоченные системы по n чисел x1, x2,..., xn, которые будем трактовать как компоненты вектора х. Рассмотрим т. н. линейное преобразование f, переводящее вектор х в вектор у с компонентами y1, y2,..., yn, причем преобразование задается формулой
![](/img/26/elgidhiei.gif)
Множество всех линейных преобразований составляет Н преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования, а, например, такие, которые не меняют длины векторов, т. е. для которых выполнено условие
x12 + x22 +... + xn2 = y12 + y22 +... + yn2.
Такие преобразования составляют группу линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют весьма важную роль, в частности находят свое приложение в квантовой механике.
Современное развитие теории групп показало, что при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что элементы ее являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто как множество элементов, в котором установлена операция умножения, т. е. каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, называемый произведением исходных: k = fg, причем в качестве аксиом выдвигаются условия (2), (3), (4). Элемент e, раньше бывший тождественным преобразованием, теперь называется единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь являются аксиомами. Если для любых двух элементов f и g верно fg = gf, то группа называется коммутативной. Для того чтобы получить Н, следует предположить, что элементы ее составляют топологическое пространство и что операция умножения непрерывна, т. е. выполнено условие (6), которое теперь выдвигается как аксиома. Так возникло в математике новое, абстрактное понятие непрерывной, или, что то же самое, топологической группы. Логически оно слагается из операции перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции весьма часто встречаются в математике, то понятие Н принадлежит к числу важных и находит многочисленные приложения. Важнейшим типом Н являются группы Ли (С. Ли - основоположник теории Н). Если в окрестности единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент f задать числами f1, f2,..., fr - его координатами, то закон умножения k = fg можно записать для элементов, близких к единице, в координатной форме:
ki = ji (f1, f2,..., fr, g1, g2,..., gr), (7)
i = 1, 2,..., r,
где ji - непрерывная функция всех переменных. Если еще предположить, что функции j, трижды непрерывно дифференцируемы, то мы придем к понятию группы Ли. Если считать, что координаты единицы все равны нулю, т. е. если принять единицу за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения (7), получим
![](/img/28/emgfjgilf.gif)
Числа
![](/img/27/elmjfgmjm.gif)
называются структурными константами группы Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.
Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973 (имеется библ.).
Л. С. Понтрягин.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
![](/page/box_bl.gif) |
![](/page/box_b.gif) |
![](/page/box_br.gif) |
|
|
Новости 27.07.2024 03:20:19
|
|
|
![](/page/blank.gif) |
|
|
![](/page/box_bl.gif) |
![](/page/box_b.gif) |
![](/page/box_br.gif) |
|