Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Непрерывная группа

Непрерывная группа (далее Н) математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М - множество элементов х какого-либо рода, например чисел, точек пространства, функций и т.п. Говорят, что имеется преобразование f множества М, если каждому элементу x из М поставлен в соответствие определенный элемент

y = f (x),     (1)

также принадлежащий М; при этом предполагается, что для каждого у найдется такой элемент х, и притом единственный, который удовлетворяет уравнению (1). Т. о., уравнение (1) разрешимо относительно х:

  x = f--1(y),

и f--1 также есть преобразование множества М. Преобразование f-1 называется обратным к преобразованию f. Преобразование е, переводящее каждый элемент х в себя, е (х) = х, называется тождественным. Если имеется два преобразования f и g, то последовательное их применение дает новое преобразование k:

  k (x) = f (g (x)).

  Преобразование k называется произведением преобразований f и g:

  k = fg.

  Умножение некоторого преобразования f на тождественное е не меняет его:

  fe = ef = f.     (2)

  Произведение преобразования f на его обратное f--1 дает тождественное:

  ff-1 = f-1f = e.     (3)

  Для любых трех преобразований имеет место ассоциативный закон:

  (fg) h = f (gh).     (4)

  Совокупность всех преобразований множества М является группой. Можно, однако, рассматривать совокупность не всех преобразований, а любую такую совокупность преобразований, что наряду с каждым преобразованием в нее входит обратное к нему, а наряду с каждыми двумя - их произведение. Тогда мы также имеем группу преобразований (подгруппу группы всех преобразований множества М). Если множество М является непрерывной средой (топологическим пространством), точнее говоря, если известно, что значит



где x1, x2,..., xn,... - некоторая последовательность элементов из М, а x также принадлежит М (как это имеет место, например, в множестве чисел или точек), то можно выделить непрерывные преобразования. Преобразование f называется непрерывным, если из (5) следует



  Множество всех непрерывных преобразований составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода: можно говорить о том, что некоторая последовательность преобразований сходится к преобразованию. При этом оказывается, что из



следует



  Такая группа называется Н преобразований. Пусть М есть множество точек плоскости. Преобразование f называется движением плоскости, если для каждой пары точек х и у из М расстояние между х и у равно расстоянию между f (x) и f (y). Преобразование плоскости называется проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования является аффинное, при котором параллельные прямые переходят в параллельные. Здесь мы имеем три простейших геометрических примера Н преобразований: группу движений, группу проективных преобразований и группу аффинных преобразований. Если рассматривать те свойства геометрических фигур на плоскости, которые не меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию. Аналогично возникают геометрии проективная и аффинная, Ф. Клейном была выдвинута общая точка зрения (см. Эрлангенская программа), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. Отсюда - роль теории Н в геометрии. Примем за множество М всевозможные упорядоченные системы по n чисел x1, x2,..., xn, которые будем трактовать как компоненты вектора х. Рассмотрим т. н. линейное преобразование f, переводящее вектор х в вектор у с компонентами y1, y2,..., yn, причем преобразование задается формулой



  Множество всех линейных преобразований составляет Н преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования, а, например, такие, которые не меняют длины векторов, т. е. для которых выполнено условие

  x12 + x22 +... + xn2 = y12 + y22 +... + yn2.

Такие преобразования составляют группу линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют весьма важную роль, в частности находят свое приложение в квантовой механике.

  Современное развитие теории групп показало, что при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что элементы ее являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто как множество элементов, в котором установлена операция умножения, т. е. каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, называемый произведением исходных: k = fg, причем в качестве аксиом выдвигаются условия (2), (3), (4). Элемент e, раньше бывший тождественным преобразованием, теперь называется единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь являются аксиомами. Если для любых двух элементов f и g верно fg = gf, то группа называется коммутативной. Для того чтобы получить Н, следует предположить, что элементы ее составляют топологическое пространство и что операция умножения непрерывна, т. е. выполнено условие (6), которое теперь выдвигается как аксиома. Так возникло в математике новое, абстрактное понятие непрерывной, или, что то же самое, топологической группы. Логически оно слагается из операции перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции весьма часто встречаются в математике, то понятие Н принадлежит к числу важных и находит многочисленные приложения. Важнейшим типом Н являются группы Ли (С. Ли - основоположник теории Н). Если в окрестности единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент f задать числами f1, f2,..., fr - его координатами, то закон умножения k = fg можно записать для элементов, близких к единице, в координатной форме:

ki = ji (f1, f2,..., fr, g1, g2,..., gr),     (7)

  i = 1, 2,..., r,

где ji - непрерывная функция всех переменных. Если еще предположить, что функции j, трижды непрерывно дифференцируемы, то мы придем к понятию группы Ли. Если считать, что координаты единицы все равны нулю, т. е. если принять единицу за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения (7), получим



  Числа



называются структурными константами группы Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.

  Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973 (имеется библ.).

  Л. С. Понтрягин.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 04.12.2021 13:27:14
13:12 Онищенко призвал россиян отдыхать в Подмосковье вместо Турции
13:10 Бизнес-омбудсмен заявил о близости России к возвращению СССР
13:03 В Раде потребовали прекратить спонсировать фильм про геев
12:58 Глава UFC избавился от коронавируса
12:58 Покидающая пост канцлера ФРГ Меркель последний раз обратилась к народу
12:49 Бывшую солистку «Миража» заставил сделать два аборта пьющий муж
12:39 На российском золотом руднике погиб рабочий
11:54 BadComedian оценил реакцию обматерившего российского критика Ридли Скотта
11:50 Рынок криптовалюты рухнул
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «Мы держали оборону трое суток» Как телохранители защищали Горбачева от заговорщиков, воров в законе и террористов
3 декабря 2021Россия «Может начаться исход врачей» Почему российские медики боятся за свою свободу: Леонид Рошаль о новом «деле врачей»
СегодняМоя страна «Никогда не видела ничего подобного» Россиянка ездит по стране в поисках заброшенных построек. Чем они ее вдохновляют?
12:35 Турчак предложил Дарью Лантратову на должность замсекретаря Генсовета ЕР
12:18 Стрелявшему в центре Москвы мужчине предъявили обвинение
12:16 Раскрыты подробности госпитализации Софии Ротару
СегодняМир Синдром Риттенхауса. Как белый подросток безнаказанно застрелил BLM-активистов и поставил США на грань расового конфликта
СегодняКультура Бесславная охота. В прокат вышло продолжение «Охотников за привидениями». Почему это полный провал?
12:16 Японский врач раскрыл неожиданную пользу шоколада
12:10 Москвичей предупредили о пониженном атмосферном давлении
12:01 Россиянка устроила дебош в вылетающем в Стамбул самолете и побила полицейского
3 декабря 2021Из жизни «Это сродни охоте» Российский антиквар — о сокровищах за миллионы, пропадающих на чердаках и помойках
СегодняНаука и техника Гаджеты научились заряжать прямо через вышки 5G. Как новое поколение сотовой связи изменит жизнь людей?
12:06 РУСАДА сменило генерального директора
11:32 Мужчина поточил нож о стену жилого дома в Подмосковье и попал на видео
11:45 Товарооборот России и ОАЭ достиг рекордного уровня в 2021 году
2 декабря 2021Экономика Новый порядок. Войны, власть женщин и путь к вечной жизни — самый невероятный экономический прогноз на 2022 год
3 декабря 2021Россия У двух прибывших из ЮАР россиян выявили коронавирус. Омикрон мог попасть в страну. Туристов проверяют медики
11:42 В России выявили 32 974 случая коронавируса
11:20 Диетолог опровергла устоявшийся миф об употреблении двух литров воды в день
11:38 Месси пожаловался Суаресу на страдания в ПСЖ
3 декабря 2021Бывший СССР «Украина вечно стреляет себе в ногу» Чем обернется для украинцев очередное обострение конфликта между Москвой и Киевом?
1 декабря 2021Россия «Есть повод для паники» Чем опасен новый штамм коронавируса и что ждать от омикрона россиянам? Отвечает биолог
11:28 Чиновницу приговорили к тюрьме за махинацию с выплатами жертвам паводка
10:25 ОАЭ купят у Франции рекордное число аналогов Су-75
11:24 Раскрыты данные о выручке Booking.com в России
СегодняРоссия «Пришлось закладывать новый заряд взрывчатки» Зачем 90 лет назад взорвали Храм Христа Спасителя
30 ноября 2021Из жизни Порно с принцессой, фальшивый сын и потерянные миллионы. Как теории заговора помогают королевской семье травить неугодных
10:42 Москвичей предупредили о гололеде и призвали не пользоваться личным транспортом
10:16 Самолет с россиянами из ЮАР приземлился в Домодедово
10:53 На шахте в Свердловской области произошел горный удар
3 декабря 2021Культура 10 лучших книг зимы: Великая эпидемия, эротика еды и Квентин Тарантино
1 декабря 2021Моя страна «Наши гусли есть даже у Metallica» Как крохотная российская деревня стала мировым центром производства гуслей
10:11 Губернатор Кузбасса рассказал о ходе аварийных работ на «Листвяжной»
10:47 Два десятка катков с искусственным покрытием открылись в Москве
09:50 Раскрыто состояние пострадавших на шахте «Листвяжная»
2 декабря 2021Россия «Зря вы шахтеров ищете. Они умерли» Как и почему 51 человек погиб в «Листвяжной». Репортаж с места трагедии
2 декабря 2021Путешествия «Мы были мишенью» Россияне путешествуют в Афганистан и подвергают свою жизнь опасности. Что ими движет?
10:36 Непобежденный боец MMA нокаутировал соперника за 13 секунд
09:35 Политику Зеленского сочли «преступной» в Крыму
10:30 Американская разведка спрогнозировала вторжение России на Украину в 2022 году
3 декабря 2021Наука и техника Маск против Безоса: как богатейшие бизнесмены планеты конкурируют за космос
2 декабря 2021Культура Снова к нам приходят. Возвращение «Звездных войн», «Ведьмака» и «Секса в большом городе» в лучших сериалах декабря
08:58 Раскрыты подробности об аренде острова на Курилах датской компанией
09:55 Макгрегора заинтересовал бой против Чимаева
08:39 В российском городе начали проверку после обнаружения голого ребенка в подъезде
2 декабря 2021Культура Он вам не омикрон. Оксимирон выпустил альбом «Красота и Уродство». На нем рэпер зачитал обо всем
2 декабря 2021Россия Жизнь после COVID-19. Россиянам, переболевшим коронавирусной инфекцией, рекомендована медицинская реабилитация
09:47 В Москве объявили желтый уровень погодной опасности
08:27 Россиянам напомнили безопасную толщину льда на водоемах
09:25 Московская Снегурочка предложила соседям поиграть в «Тайного Деда Мороза»
2 декабря 2021Силовые структуры Майор Скорость. Как российский полицейский устал бороться с наркодилерами и сам начал продавать амфетамин в даркнете
2 декабря 2021Россия «Дрались с заезжими болельщиками и играли в хоккей» Послевоенная Капотня в воспоминаниях ее старожилов
08:09 Экс-губернатор российского региона пожаловался на мошенников
09:08 SpaceX побила годовой рекорд пусков
07:55 Пьяный мужчина убил односельчанина и спрятал его тело в диван
30 ноября 2021Среда обитания «Мир еще не сталкивался с исчезновением страны из-за климата» Министр тонущего государства — о жизни по колено в воде
3 декабря 2021Экономика Партнерский материалИнфоресурс для инвесторов. Информация обо всех инвестициях в Россию — на одном сайте
08:47 В Москве приземлился самолет с россиянами из ЮАР
07:49 В российском регионе поезд столкнулся с машиной скорой помощи
08:45 Россияне сравнили посыпанные реагентами дворы с улицами без химикатов
3 декабря 2021 Видео: новый Range Rover за 10 минут Главный внедорожник Британии: только факты и никаких оценок
1 декабря 2021Мир Министерство дружбы. Россия пытается найти новых союзников. Почему пока это трудно сделать без военной помощи и кредитов?
07:37 Рэпер Элджей обжалует приговор по делу о пропаганде наркотиков
08:36Промо В России вступит в силу новый порядок взаимодействия ГАИ с автошколами
07:30 Вирусолог посоветовал переболевшим COVID-19 прививаться «Спутником Лайт»
1 декабря 2021Ценности «Это похоже на рай» Как появилась БДСМ-атрибутика и почему одежда фетишистов стала главным модным трендом года?
2 декабря 2021 Они пытались «убить» Логан, Поло и Солярис. Но не смогли и исчезли Какие машины пытались конкурировать с бестселлерами
08:23 В России решили ограничить использование личных автомобилей
07:25 США и Россия достигли прогресса в выдаче дипломатических виз
08:15 Глава Сахалина объяснил осеннюю «пробку» из морских судов
30 ноября 2021Спорт Лионель Месси в седьмой раз выиграл «Золотой мяч». В гонке за трофей он обошел Криштиану Роналду и Роберта Левандовски
1 декабря 2021Россия Что изменится в жизни россиян с 1 декабря. Главное о блокировке сим-карт, пенсиях и открытии границ
07:06 Украина заявила о готовности к любому формату переговоров с Россией по Донбассу
08:03 Бывший глава НАСА испугался опускающей США до уровня России технологии
07:00 Вирусолог объяснил преимущество «Спутника V» при первой вакцинации
30 ноября 2021Россия «Рожают в наручниках» Унижение, побои и вымогательство: как устроено насилие в женских колониях России
1 декабря 202169-я параллель В Якутии решили клонировать мамонтов. Удастся ли ученым заселить Арктику древними животными?
07:38 Неравнодушные прохожие спасли тонувшую в подмосковном пруду собаку
06:55 Биологи открыли гены заикания
07:21 США заявили о необходимости иметь открытые каналы связи в период напряженности
06:36 Два бегемота заболели коронавирусом в Бельгии
07:13 Литва попросила Европу о помощи из-за Китая
06:43 На Украине рассказали об аморальной тройственной политике властей
06:30 Россиян предупредили о резком подорожании алкоголя с Нового года