Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неопределенных коэффициентов метод

Неопределенных коэффициентов метод (далее Н) метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь



может быть представлена в виде суммы



где А, В и С - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:



и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

(А + В + С) х2 + (В - С) х - А = 3x2 - 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трех неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,



справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть еще нужно представить дробь



в виде



где А, В, С и D - неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому



или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:



  Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2 + 3 = 1, -А + В + 3D = 1, A + - 2D = -1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = -1/2, С = 0, D = 1/2, т. е.



  В приведенных примерах успех Н зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения



было взято выражение



то, рассуждая, как и выше, получили бы для трех коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, -A - = 1, A + = -1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.

  Особенно важны применения Н к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y" = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + ×××.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" - выражение

2c2 + 3·2с3х + 4·3с4х2 + 5·4с5х3 + ×××,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c2 + 3·2c3x + (1 + 4·3c4) x2 + (c2 + 5·4c5) x3 + ××× = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c2 = 0; 3·2с3 = 0; 1 + 4·3c4 = 0; c2 + 5·4c5 = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,



т. е.



  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.01.2021 00:16:44
23:59, 26 января 2021 В Германии украли десять контейнеров с респираторами
23:38, 26 января 2021 Байден отшутился на вопрос о содержании его беседы с Путиным
23:32, 26 января 2021 Сенат США отложил рассмотрение импичмента Трампу
23:26, 26 января 2021 Судебно-психиатрическую экспертизу сына Плющенко связали с уголовным делом
23:18, 26 января 2021 Сенаторы США принесли присягу на процессе по импичменту Трампу
22:58, 26 января 2021 Состояние пострадавшей на несанкционированной акции в Петербурге ухудшилось
22:47, 26 января 2021 Число заражений коронавирусом в мире достигло 100 миллионов
22:48, 26 января 2021 В Совфеде оценили возможности для диалога после разговора Путина и Байдена
22:24, 26 января 2021 Байден и Путин поговорили о «проблемных вопросах» в двусторонних отношениях
Больше новостей
СегодняРоссия «Бывает, что вакцины не срабатывают. Почему — мы не знаем»100 миллионов человек в мире заразились коронавирусом. Могут ли вакцины остановить пандемию?
СегодняСиловые структуры «На связь выходят только ночью»Заключенные прямо из тюрем обманывают миллионы россиян по телефону. Как устроен этот бизнес?
СегодняИз жизни «Как будто началась война»В американском городке решили построить утопию без налогов и законов. Все испортили дикие звери
18:17, 26 января 2021 В Италии сочли Кокорина фантастическим игроком
21:50, 26 января 2021 Стал известен новый главный тренер «Челси»
22:16, 26 января 2021 Совфед поддержит продление ракетного договора
СегодняДом Только заберитеВ Испании распродают дома со скидками более 70 процентов. Стоит ли их покупать?
СегодняЭкономика Ай нано«Роснано» создавали для технологического прорыва. Почему его не случилось даже через 13 лет
21:18, 26 января 2021 Стало известно о продлении ракетного договора между Россией и США
18:14, 26 января 2021 Рассекречены Apple Watch с глюкометром
21:55, 26 января 2021 Байден заявил Путину о намерении «твердо реагировать на пагубные действия» России
СегодняЦенности Руки прочьЛюбимая вещь европейских богачей вернулась в моду. 200 лет назад в России она была под запретом
26 января 2021Спорт «Это был ад»Во Франции тренер годами насиловал юных учениц и снимал их на видео. Почему этого никто не замечал?
21:10, 26 января 2021 Невеста выбрала «платье мечты» как у своей родственницы и подставила ее
17:28, 26 января 2021 Ценам на нефть пообещали рост
21:54, 26 января 2021 Путин и Байден обсудили продление ракетного договора
26 января 2021Наука и техника Владыки морейКто помогал русским и американцам победить флот Гитлера. Редкие снимки Второй мировой войны
25 января 2021Интернет и СМИ «Учат весь мир свободе слова»Крупнейшие соцсети мира заставили Трампа замолчать. Чем это грозит обычным пользователям?
21:06, 26 января 2021 Новым госсекретарем США стал Энтони Блинкен
21:44, 26 января 2021 Байден решил заняться санкциями США против «Северного потока-2»
21:29, 26 января 2021 Володин сделал выбор между Трампом и Байденом
26 января 2021Мир «Отложим кризис на пять лет»США готовы продлить ракетный договор с Россией. Почему Байден решил пойти на уступки?
25 января 2021Из жизни «Мы на острове, тут все на виду»История россиянки из глубинки, которая влюбилась во Вьетнам, переехала туда и открыла свое дело
20:51, 26 января 2021 Российский программист из Кремниевой долины убил жену и дочь
20:50, 26 января 2021 Вытолкнувший молодую жену из окна российский полицейский получил 14 лет
21:21, 26 января 2021 Бывший футболист сборной Украины рассказал о самой лютой пьянке
26 января 2021Путешествия Благословенная земляСлоны, грязные электрички и Будда: что ждет российских туристов на Шри-Ланке
26 января 2021Культура Герои на героинеЖили быстро, меняли мир и умирали молодыми: 15 великих историй эпохи джаза
21:18, 26 января 2021 Раскрыто число переболевших COVID-19 депутатов
20:37, 26 января 2021 Король Таиланда объявил второй королевой свою любовницу
21:04, 26 января 2021 По итогам несанкционированных акций возбуждено 20 уголовных дел
24 января 2021Путешествия Белая смертьСоль, женский труд и проституция. Чем живут селения на берегах самых крупных озер Африки?
25 января 2021Силовые структуры Война и амирВ Чечне уничтожили последнего главаря боевиков. Спецслужбы охотились за ним 10 лет
20:22, 26 января 2021 Вирусное видео помогло блогерше спасти отца
21:00, 26 января 2021 Samsung не поверила в Galaxy S21
20:15, 26 января 2021 В Петербурге раскрыли деятельность китайской триады
25 января 202169-я параллель «Они создали там целый мир»Американец в 90-е годы добрался до Русского Севера. Что он там увидел?
24 января 2021Россия «Осколки остались в наших телах навсегда»Десять лет назад смертник атаковал Домодедово, погибли 37 человек. Выжившие все еще живут в страхе
20:50, 26 января 2021 Мужчина потерял в 90-х дневник и внезапно получил его от незнакомца через 20 лет
20:09, 26 января 2021 Страдающих ожирением россиян призвали вакцинироваться от коронавируса
20:47, 26 января 2021 Названы самые опасные нарушения на дорогах Москвы
24 января 2021Наука и техника Неизбежная смертьЛысый убийца вернулся, чтобы завершить дело: обзор Hitman 3
26 января 2021 Удивительные «Теслы»: от кабриолета до катафалкаВспоминаем самые экзотические проекты на базе электромобиля Tesla Model S
20:00, 26 января 2021 Попытка российской биатлонистки сменить спортивное гражданство провалилась
20:18, 26 января 2021 Китай выразил готовность поставить в Белоруссию вакцину от коронавируса
19:47, 26 января 2021 Арестован первый напавший на полицейского на митинге в Москве 23 января
23 января 2021Силовые структуры «Было страшно видеть ее взгляд»Убийство школьницы поставило в тупик милицию СССР. В нем подозревали Чикатило, а казнили невиновного
25 января 2021Бывший СССР «Не мы лезем в их постель»Эстонцы долго боролись за легализацию гей-браков. Как им помешала коррупция чиновников?
20:11, 26 января 2021 «Королева легинсов» из TikTok назвала «идеальную для ягодиц» вещь
19:50, 26 января 2021 Посольство России отреагировало на нападение на россиян в Стамбуле
20:02, 26 января 2021 В Москве задержали стрелявшего по кошкам мужчину
24 января 2021Спорт Забойный реваншДастин Порье нокаутировал Конора Макгрегора. Но ирландец не собирается завершать карьеру
19:49, 26 января 2021 У Пашиняна украли дипломатический паспорт
19:43, 26 января 2021 Блогерша показала способ избавиться от агрессивной рекламы в интернете
19:48, 26 января 2021 Ошибка кассира обогатила покупательницу на 75 миллионов рублей
19:39, 26 января 2021 Россиянам перечислили способы избежать ошибок при езде на автомобиле в гололед
19:43, 26 января 2021 Солист Мариинского театра раскрыл подробности нападения жены с ножом
19:26, 26 января 2021 Раскрыт самый эффективный препарат против коронавируса
19:33, 26 января 2021 Мужчина увеличил губы кремом для эрекции и вызвал споры в сети
19:24, 26 января 2021 Сотрудник аэропорта заставил пассажирку показать грудь во время досмотра
19:31, 26 января 2021 Госдума приняла в первом чтении закон об онлайн-вычетах по налогам
19:15, 26 января 2021 Голый украинец пришел к заводу в Польше в знак протеста
19:12, 26 января 2021 12 словенских гандболистов отравились перед матчем ЧМ с хозяевами турнира
19:06, 26 января 2021 Российский миллиардер купил остров и решил превратить его в роскошный курорт
19:09, 26 января 2021 Семья обанкротившегося депутата Госдумы подкупила пристава
18:05, 26 января 2021 Российские дроны заподозрили в ударах по объектам контрабанды нефти в Сирии
18:50, 26 января 2021 Илон Маск помог взлететь акциям чужой компании
17:59, 26 января 2021 Гидрометцентр рассказал о температурных рекордах в трех городах России
18:34, 26 января 2021 «Неистовый таксист» удивил Гузееву завышенной сексуальной энергией
18:28, 26 января 2021 Воры в законе нашли способ защиты от наказания за свой статус в России