|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Неопределенные выражения | Неопределенные выражения (далее Н)в математике, выражения, предел которых не может быть найден путем непосредственного применения теорем о пределах. Типы Неопределенные выражения:
К Неопределенные выражения относятся:
причем
причем
где e = 2,71828... — неперово число. Указанные типы Неопределенные выражения символически обозначают так:
Следует отметить, что данная функция может являться Неопределенные выражения при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение
не является Неопределенные выражения). Не всякое Неопределенные выражения имеет предел; так, выражение
не стремится ни к какому пределу
Нахождение предела Неопределенные выражения (в случае, когда он существует) называют иногда "раскрытием неопределенности", или нахождением "истинного значения" Неопределенные выражения (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Неопределенные выражения Иногда такая замена достигается путем алгебраических преобразований.
Так, например, сокращая в выражении
числитель и знаменатель на 1—x, получаем
поэтому
Для вычисления пределов Неопределенные выражения типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях
если f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удаленной) точки x0, за возможным исключением самой точки x0, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что
Иногда
вновь является Неопределенные выражения вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении ее условий) еще раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Неопределенные выражения
(f (x) = ex + e-x, g (x) = ex — e-x)при x ® 0 ничего не дает. Может также случиться, что
не существует, тогда как
типа 1) или 2) все же существует; пример:
не существует. Мощным средством нахождения пределов Неопределенные выражения является разложение функций в ряды. Например, так как
то
Неопределенные выражения видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Неопределенные выражения
вида 4) преобразуется к виду 1):
а последнее Неопределенные выражения имеет предел 0; Неопределенные выражения вида 3) приводится к Неопределенные выражения вида 1) или 2) преобразованием
где
Наконец, если через u (х) обозначить логарифм Неопределенные выражения видов 5), 6) и 7): u (x) = g (x) lnf (x), то u (х) является Неопределенные выражения вида 3), которое, как указано, сводится к Неопределенные выражения вида 1) или 2). Так как {f (x)} g (x) = eu (x), то, найдя предел u (х) (если он существует), можно найти и предел данного Неопределенные выражения Например, для xx при x ® 0 имеем
и, следовательно,
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
