Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неопределенные выражения

Неопределенные выражения (далее Н)в математике, выражения, предел которых не может быть найден путем непосредственного применения теорем о пределах. Типы Неопределенные выражения:



  К Неопределенные выражения относятся:



причем



причем



где e = 2,71828... — неперово число. Указанные типы Неопределенные выражения символически обозначают так:



Следует отметить, что данная функция может являться Неопределенные выражения при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение



не является Неопределенные выражения). Не всякое Неопределенные выражения имеет предел; так, выражение



не стремится ни к какому пределу



  Нахождение предела Неопределенные выражения (в случае, когда он существует) называют иногда "раскрытием неопределенности", или нахождением "истинного значения" Неопределенные выражения (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Неопределенные выражения Иногда такая замена достигается путем алгебраических преобразований.

  Так, например, сокращая в выражении



числитель и знаменатель на 1—x, получаем



поэтому



  Для вычисления пределов Неопределенные выражения типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях



если f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удаленной) точки x0, за возможным исключением самой точки x0, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что



  Иногда



вновь является Неопределенные выражения вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении ее условий) еще раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Неопределенные выражения



(f (x) = ex + e-x, g (x) = ex — e-x)при x ® 0 ничего не дает. Может также случиться, что



не существует, тогда как



типа 1) или 2) все же существует; пример:



не существует. Мощным средством нахождения пределов Неопределенные выражения является разложение функций в ряды. Например, так как



то



  Неопределенные выражения видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Неопределенные выражения



вида 4) преобразуется к виду 1):



а последнее Неопределенные выражения имеет предел 0; Неопределенные выражения вида 3) приводится к Неопределенные выражения вида 1) или 2) преобразованием



где



Наконец, если через u (х) обозначить логарифм Неопределенные выражения видов 5), 6) и 7): u (x) = g (x) lnf (x), то u (х) является Неопределенные выражения вида 3), которое, как указано, сводится к Неопределенные выражения вида 1) или 2). Так как {f (x)} g (x) = eu (x), то, найдя предел u (х) (если он существует), можно найти и предел данного Неопределенные выражения Например, для xx при x ® 0 имеем



и, следовательно,



  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 20.01.2021 12:48:25
12:38 Зрители разглядели в ролике популярной блогерши тайный призыв о помощи
12:31 На Украине перевернулся грузовик с военными
12:31 Похожее на огромного червяка, змею и ящерицу существо озадачило TikTok
12:29 На Украине напали на священников
12:23 В России приготовились поднять цены на иномарки
12:21 Задержанный ФСБ подросток покончил с собой в изоляторе
12:18 В Роспотребнадзоре объяснили лидерство Петербурга по новым случаям COVID-19
12:16 Объяснена загадка звезды «с инопланетными сооружениями»
12:08 Водителей без ОСАГО передумали штрафовать каждый день
Больше новостей
СегодняЭкономика Одиссея «Академика Черского»«Газпром» впервые допустил провал «Северного потока-2». Способное его достроить судно потратило год зря
СегодняРоссия «К таким идеям отношение скорее настороженное»В России начинают вводить ковидные паспорта. Что это значит — отвечает юрист
СегодняИнтернет и СМИ «Призрак цифрового тоталитаризма»Крупнейшие соцсети мира заставили Трампа замолчать. Как это изменит интернет?
11:33 Россиянка описала реальную обстановку на опустевшем острове Таиланда
12:08 Врач предупредил россиян об опасности жвачки
10:55 Появились новые фотографии самого доступного кроссовера Hyundai
СегодняМир «Мы влюбились друг в друга»Дружба США и Северной Кореи заканчивается с уходом Трампа. Как сложатся отношения Кима и Байдена?
19 января 2021Силовые структуры «Это дурманит и затягивает»Адвоката Маркелова и журналистку Бабурову убили националисты. 12 лет спустя они рассказали о мотивах
12:04 Фигура российской гимнастки в купальнике смутила фанатов
11:48 В Белоруссии готовы выпускать собственный электрокар
11:56 Названы сроки начала вакцинации от коронавируса на Украине
СегодняКультура «Будь моей деткой»Он продюсировал Beatles и Ramones, мучил жену и сел за убийство актрисы: в тюрьме умер Фил Спектор
19 января 2021Из жизни «Многие испанцы живут с родителями до 30 лет»История россиянки, которая вышла замуж за испанца, переехала к нему и развелась
11:40 Пропавший основатель Alibaba снова появился на публике
10:15 Трамп отказался помиловать самого себя
11:49 Математика определила знаменитостей с идеальными лицами
18 января 2021Спорт Белоруссию лишили чемпионата мира по хоккею 2021 годаСпонсоры отказались финансировать турнир в Минске. Новое место проведения ЧМ пока неизвестно
19 января 2021Россия «Медсестра забыла открыть заглушку капельницы»Маленькую Варю спасет операция, но до нее надо дожить. Нужна наша помощь
11:48 Желающим переехать в Испанию предложили жилье и бизнес
11:31 В Евросоюзе задумались о новых санкциях против России из-за Навального
10:03 Начальный Porsche Taycan добрался до Европы
19 января 2021Дом Осколки СоюзаПанелька-телевизор, летающая тарелка и трансформеры — что осталось от советского наследия в Европе
18 января 2021Мир «Адская битва и невероятное приключение»Трамп спровоцировал мятеж в Вашингтоне. Что ждет США после его ухода?
11:27 101-летняя женщина раскрыла секрет долголетия
09:21 Доктор Комаровский развеял миф о полезности спорта
11:47 В Госдуме предрекли Трампу успешное политическое будущее
18 января 2021Путешествия Лавина обрушилась на людей в Домбае. Есть погибшийЧто известно о происшествии на популярном горнолыжном курорте России
19 января 2021 Тестируем самый быстрый Mini. И это... шестидверный универсалТри редактора «Мотора» рассуждают о модели, слишком экзотической даже для Mini
11:38 Петербург второй раз подряд обогнал Москву по новым случаям COVID-19 за сутки
11:18 Немецкий партнер «Газпрома» не поверил в провал «Северного потока-2»
11:37 «Справедливую Россию» объединят с «Патриотами России» и партией Прилепина
18 января 2021Бывший СССР Диктатура в законеВ Киргизии завершилась революция, президентом стал бывший арестант. Куда поведет страну новый лидер?
18 января 2021Ценности Чемпионы стиляКак одежда помогает спортсменам зарабатывать миллионы спустя десятилетия после их побед
11:11 В России зафиксировано снижение заболеваемости COVID-19
11:37 Ида Галич назвала причины «упадка» КВН
11:07 В России за сутки умерли 597 пациентов с коронавирусом
18 января 2021Интернет и СМИ Троянский коньНапуганные новой политикой WhatsApp люди ринулись в Telegram и Signal. Но так ли они безопасны?
Сегодня Какие модели были первыми у сегодняшних автогигантов? Часть 2Избранное на «Моторе». Самые первые автомобили Toyota, Skoda, Renault и Porsche
11:30 Обновлены данные по зараженным коронавирусом в Москве
10:57 Опубликовано новое видео тренировки российских миротворцев в Нагорном Карабахе
11:29 Трамп помиловал рэперов Lil Wayne и Kodak Black
18 января 2021Культура «В борьбе за власть изуродовали Москву»Как СССР начал отрицать прошлое и до неузнаваемости изменил сознание людей
18 января 2021Мир Красный закатСССР давал африканским странам миллиарды на борьбу с Западом. Почему эти деньги были потрачены зря?
10:55 Раскрыто огромное число умерших от грязного воздуха в городах Европы
11:21 В Канаде поддержали лишение Белоруссии чемпионата мира по хоккею
10:51 Минздрав получил документы на регистрацию третьей вакцины от COVID-19
17 января 2021Путешествия «Местные не осуждают любовь за деньги»Шашлычные, цыганки и русские в джунглях: что искать туристу в Колумбии?
16 января 2021Ценности «Влюбила в себя султана»Как правитель Малайзии женился на российской модели и с чем оставил ее и сына после развода
11:13 «Самый вежливый руководитель» полиции Тувы пошел под суд за сожжение человека
11:08 Коэффициент распространения коронавируса в Москве опустился до минимума
10:37 Первая снявшаяся в купальнике и хиджабе модель раскрыла причины отказа от работы
17 января 2021Россия «Чтобы выжить, необходимо было отказаться от смелости»СССР пытался создать поколение мужчин-героев. Что из этого вышло?
17 января 2021Из жизни «Страдания открыли мне великую истину»Женщина семь лет искала автора письма в бутылке и нашла. Ей помогали детективы и экстрасенсы
10:33 Анастасия Волочкова описала самый незабываемый секс в своей жизни
10:57 Пандемию коронавируса сравнили с аварией на Чернобыльской АЭС
10:50 Москалькова заявила о нужности ковид-паспортов
17 января 2021Наука и техника Нам бы их проблемыСмартфон-рулон, умный унитаз и датчик мочевого пузыря: самые странные изобретения 2021 года
10:28 Переболевшая COVID-19 активная девушка стала задыхаться при подъеме по лестнице
10:07 Россияне бросились скупать коммерческую недвижимость
10:46 Слухи о лечении «королевы TikTok» в наркологической клинике прокомментировали
10:05 Блогерша показала нетрадиционные методы воспитания детей и подверглась критике
10:32 Названа получившая выгоду за счет россиян и закрытия Европы страна
09:53 Умер объявленный в розыск за поборы с зэков вор в законе Резо Лоткинский
10:27 В Совфеде оценили слова о беседе Трампа с Путиным перед штурмом Капитолия