Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Неевклидовы геометрии

Неевклидовы геометрии (далее Н) в буквальном понимании — все геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин "Н" применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между ее точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная ее точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трехмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная ее точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую ее точку.

  Среди Н особое значение имеют Лобачевского геометрия и Римана геометрия, которые чаще всего и подразумевают, когда говорят о Н Геометрия Лобачевского — первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида (см. Евклидова геометрия), Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами. Ниже обе Н и геометрия Евклида сопоставляются как синтетические теории, затем в плане дифференциальной геометрии и, наконец, в виде проективных моделей.

  Н как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

  В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. Сущность в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит проективная плоскость).

  Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трех геометрий одинаковы.

  Примеры теорем Н

  1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).

  2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой:

= R2(p - a - b - g),     (1)

где a, b, g — внутренние углы треугольника, R — некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула:

  = R2(a + b + g - p)     (2)

при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).

  3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например



где sh, ch — гиперболические синус и косинус (см. Гиперболические функции), a, b, c — стороны треугольника, a, b, g — противолежащие им углы, R — постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой с и прямым углом g) имеет место, например, равенство:



  При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определенный отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остается неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R = 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:



(для произвольного треугольника) и



(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R на Ri



формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на Ri все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R ® ¥ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых.

  Н в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства (см. Дифференциальная геометрия); в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:

  ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2     (7)

  Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берется длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:



а для плоскости Римана



R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене R на Ri метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R = ¥ каждое из равенств (8) и (9) дает

  ds2 = du2 + dv2,

т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.

  Трехмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле (см. Риманово пространство) и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну (см. Риманова геометрия). Как в двумерном, так и в трехмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нем, причем с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R2, пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R2 (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

  Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

  Н в виде проективных моделей. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x1, x2, x3) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например

  x12 + x22 + x32 = 0

  Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние ее точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются "прямыми". Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С. В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок, где показано, что через точку Р проходит бесконечно много "прямых", не пересекающих "прямой" а). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.

  Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

  x12 + x22 + x32 = 0.     (10)

  При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.

  Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта

  x12 + x22 = 0, x3 = 0,

т. е. относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3 = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3 = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н

  Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.

  Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.

  Н имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей. О значении Н см. также Геометрия.

 

  Лит.: Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М. — Л., 1936; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  Н. В. Ефимов.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.01.2021 14:13:55
13:52 В Кремле не увидели проблем с дефицитом продуктов питания
13:52 Кремль прокомментировал планы продлить ракетный договор с США
13:48 На «Фукусиме» нашли смертельную для человека радиацию
13:47 Билл Гейтс предложил план борьбы со следующей пандемией
13:46 Девушки зарезали подростка в прямом эфире и похвастались убийством
13:37 Участница испытаний китайской вакцины умерла от пневмонии
13:37 Авербух назвал критерии отбора для участия в «Ледниковом периоде»
13:36 Кремль раскрыл детали разговора Путина с Байденом
13:17 Умер актер из «Ликвидации» Юрий Лахин
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «На связь выходят только ночью»Заключенные прямо из тюрем обманывают миллионы россиян по телефону. Как устроен этот бизнес?
СегодняРоссия «Бывает, что вакцины не срабатывают. Почему — мы не знаем»100 миллионов человек в мире заразились коронавирусом. Могут ли вакцины остановить пандемию?
СегодняЭкономика Ай нано«Роснано» создавали для технологического прорыва. Почему его не случилось даже через 13 лет
13:12 Украине предсказали сокращение пенсий в полтора раза
13:29 Госдума одобрила продление ракетного договора с США
13:30 В Москве исчезли квартиры экономкласса
СегодняДом Только заберитеВ Испании распродают дома со скидками более 70 процентов. Стоит ли их покупать?
СегодняИз жизни «Как будто началась война»В американском городке решили построить утопию без налогов и законов. Все испортили дикие звери
13:27 Слесарь Шереметьево неуместно пошутил в аэропорту и оказался в полиции
12:13 Мужчина показал способ готовить картофельное пюре и вызвал отвращение зрителей
13:27 Собака в последний момент спасла тонувшего в реке мальчика
СегодняЦенности Руки прочьЛюбимая вещь европейских богачей вернулась в моду. 200 лет назад в России она была под запретом
26 января 2021Спорт «Это был ад»Во Франции тренер годами насиловал юных учениц и снимал их на видео. Почему этого никто не замечал?
11:30 Дилер Lada захотел построить пляжную «Ниву»
13:22 Россия поможет Лукашенко наказать страны Балтии
13:11 Максакова уедет в США
26 января 2021Наука и техника Владыки морейКто помогал русским и американцам победить флот Гитлера. Редкие снимки Второй мировой войны
26 января 2021Мир «Отложим кризис на пять лет»США готовы продлить ракетный договор с Россией. Почему Байден решил пойти на уступки?
13:17 Девушка устыдилась своего тела на пляже и сбросила 40 килограммов за полгода
11:09 ФСБ показала видео задержания стремившихся к свержению власти террористов
13:10 Россия заместила импортные матрицы
25 января 2021Интернет и СМИ «Учат весь мир свободе слова»Крупнейшие соцсети мира заставили Трампа замолчать. Чем это грозит обычным пользователям?
26 января 2021Путешествия Благословенная земляСлоны, грязные электрички и Будда: что ждет российских туристов на Шри-Ланке
13:09 В Госдуме назвали депутата-миллиардера среднестатистическим депутатом
11:07 В ПАСЕ предложили отказаться от санкций против России
12:56 Россиянам назвали «крайне опасную ошибку» при парковке автомобиля
25 января 2021Из жизни «Мы на острове, тут все на виду»История россиянки из глубинки, которая влюбилась во Вьетнам, переехала туда и открыла свое дело
26 января 2021Культура Герои на героинеЖили быстро, меняли мир и умирали молодыми: 15 великих историй эпохи джаза
12:51 Правительство Украины захотело ввести санкции против 13 российских авиакомпаний
13:05 Новый Hyundai Tucson получил спортивную версию N Line
13:01 Арбитраж проверит появление в решениях российской судьи фразы «письку сосите»
24 января 2021Путешествия Белая смертьСоль, женский труд и проституция. Чем живут селения на берегах самых крупных озер Африки?
25 января 2021Силовые структуры Война и амирВ Чечне уничтожили последнего главаря боевиков. Спецслужбы охотились за ним 10 лет
12:37 Стало известно о массовом отказе россиян от отдыха из-за заражения коронавирусом
12:51 Ведущая «Давай поженимся!» показала закулисье передачи
12:36 Американские университеты тайно вложились в биткоин
25 января 202169-я параллель «Они создали там целый мир»Американец в 90-е годы добрался до Русского Севера. Что он там увидел?
Сегодня Petrolhead Battle: как Бойцовский клуб, но о машинахКак двое уставших от самоизоляции парней создали лучший автомобильный квиз
12:49 У коронавируса в России заметили трудности с поиском новых «жертв»
12:24 Итальянский «доктор смерть» убивал больных с COVID-19 ради освобождения коек
12:41 Мужчина превратил крыльцо дома в трамплин для лыжных тренировок сына
24 января 2021Россия «Осколки остались в наших телах навсегда»Десять лет назад смертник атаковал Домодедово, погибли 37 человек. Выжившие все еще живут в страхе
24 января 2021Наука и техника Неизбежная смертьЛысый убийца вернулся, чтобы завершить дело: обзор Hitman 3
12:15 Появились новые данные по заражению коронавирусом в Москве
12:41 Появились подробности убийства 21-летнего российского футболиста
12:14 В Роспотребнадзоре рассказали о риске усиления эпидемии коронавируса
26 января 2021 Удивительные «Теслы»: от кабриолета до катафалкаВспоминаем самые экзотические проекты на базе электромобиля Tesla Model S
23 января 2021Силовые структуры «Было страшно видеть ее взгляд»Убийство школьницы поставило в тупик милицию СССР. В нем подозревали Чикатило, а казнили невиновного
12:28 Вышедшая полуголой на улицу 55-летняя актриса ответила на критику своих фото
12:11 На Украине завели уголовные дела против Байдена и Порошенко
12:27 Заразившийся коронавирусом президент Мексики летал на самолете перед тестом
25 января 2021Бывший СССР «Не мы лезем в их постель»Эстонцы долго боролись за легализацию гей-браков. Как им помешала коррупция чиновников?
24 января 2021Спорт Забойный реваншДастин Порье нокаутировал Конора Макгрегора. Но ирландец не собирается завершать карьеру
12:05 Школьница почернела от неудачного автозагара и рассмешила семью
12:19 В воинской части под Москвой на военнослужащих рухнула крыша
11:57 Соловьев предложил оплатить лечение ударенной в живот женщины при одном условии
12:13 Траты россиян на базовые продукты питания резко выросли
12:13 Охранник выстрелил в россиянина и покончил с собой
11:35 Россияне начали активнее скупать валюту
11:33 В России впервые с конца октября выявлено менее 18 тысяч случаев коронавируса
12:01 В политике Байдена увидели признаки шизофрении