Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Начертательная геометрия

Начертательная (далее Н) геометрия, раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

  Потребность в изображениях пространственных предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических вопросов (например, строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие живописи и архитектуры, техники и т.п.). Особенно большое значение имеют чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость (проекционные чертежи). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований; важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать пространственное представление изображаемой фигуры; 2) "обратимость" чертежа, т. е. возможность точного определения изображенной фигуры по чертежу; 3) простота выполнения требуемых построений; 4) точность графических решений. В способах построения изображений применяются центральное и параллельное проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций (см. Проекция). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные способом центрального проектирования, который соответствует геометрической схеме возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее употребительными в Н геометрия являются параллельные проекции, которые более просты в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространенным является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный чертеж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 в пространстве. Плоскость П1 располагают горизонтально; ее называют горизонтально и плоскостью проекций, а плоскость П2фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку А пространства проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1); получают горизонтальную проекцию A1 (AA1(плоскости П1) и фронтальную проекцию A2 (AA2 ^ плоскости П2). Три точки А, A1 и A2 лежат в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии p12 пересечения плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию какой-либо фигуры получают, проектируя ортогонально все точки этой фигуры на плоскость П1, фронтальную проекцию — на плоскость П2. Часто бывает полезно добавить третью проекцию фигуры — на плоскость П3, перпендикулярную к плоскостям П1 и П2. Плоскость П3, а также и проекцию на нее называют профильной. Две проекции точки А (например, A1 и A2) вполне определяют третью проекцию (A3).

  Чтобы получить чертеж, состоящий из трех указанных проекций (комплексный чертеж), плоскости П1 и П3 совмещают с плоскостью П2 ("главной" плоскостью) путем вращения их вокруг линий p12 и p23 пересечения этих плоскостей с плоскостью П2 (рис. 2). Обычно на практике не указывается положение осей проекций p12 и p13, то есть положение плоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

  Комплексный чертеж обратим, так как по нему можно определить расстояние между любыми двумя точками натуральной фигуры. Действительно, отрезок AB (рис. 3) в натуре является гипотенузой прямоугольного треугольника ABB*, в котором AB* = A11, а В*В есть разность высот точек В и А, выражаемая на чертеже отрезком 2*2. Отсюда можно получить простое построение натурального отрезка



(рис. 4); для этого нужно построить



  Для увеличения наглядности комплексного чертежа на проекциях фигуры устанавливают "условия видимости": из двух точек А и В, проекции которых на какой-либо из плоскостей проекций совпадают, например A1 º 1, видимой считается та, которая расположена ближе к зрителю; "невидимые" линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример такого изображения пространственной фигуры в трех проекциях, называется "вид спереди" (фронтальная проекция), "вид сверху" (горизонтальная проекция) и "вид слева" (профильная проекция), дан на рис. 5.

  Комплексный чертеж (из двух или трех ортогональных проекций) является наиболее распространенным видом технического чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей — их малая наглядность.

  Для построения более наглядных обратимых изображений в Н геометрия применяется другой способ, называемый аксонометрией.

  При аксонометрии изображаемую фигуру относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая геометрия). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена координатная ломаная OMxM1M для произвольной точки М. Длины координатных отрезков OMx, MxM1, M1M являются координатами х, у, z точки М. Если спроектировать натуральную систему осей Охуz на плоскость П", то получается так называемая аксонометрическая система осей О"х"у"z" (рис. 6). Проекция "M"xM"1M" координатной ломаной состоит из отрезков "M"x, M"xM"1, M"1M", длины которых x", y", z" в аксонометрической системе координат называется аксонометрическими координатами точки М. Отношения



выражают величины искажения координатных отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами) искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию называют изометрией, если хотя бы два из них равны — диметрией, если же все показатели искажения неравны — триметрией.

  Чтобы при помощи аксонометрического способа построить изображение точки М на плоскости П" в данной параллельной проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки М (х, у, z); б) аксонометрическую систему осей О"х"у"z" на плоскости проекций П"; в) показатели искажения u, v, w.

  Тогда по формулам (*) находят аксонометрические координаты точки М"(х", у", z") и строят по ним точку M", являющуюся искомой проекцией точки М. Аксонометрическое изображение пространственной фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрический чертеж обратим: если на аксонометрическом чертеже дана точка M" (х", у", z"), то можно по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, z точки М.

  Если задать произвольную аксонометрическую систему осей "x"y"z" на плоскости проекций П" (не сводящуюся, однако, к одной прямой) и отношение показателей искажения u: v: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме), существует такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости проекций П" и такое направление проектирования, при которых на плоскости П" реализуются ранее выбранная аксонометрическая система осей и отношений показателей искажения.

  Для упрощения аксонометрического способа построения изображений пользуются "приведенной" аксонометрией, в которой аксонометрические координаты стремятся по возможности заменить натуральными без искажения вида чертежа. Так, например, на рис. 7 дана ортогональная изометрия объекта, изображенного на комплексном чертеже (рис. 5), с использованием натуральных координат вместо аксонометрических. При этом происходит изменение масштаба аксонометрического чертежа, но вид его сохраняется, т. е. чертеж изменяется подобно. Аксонометрические изображения предметов, не имеющих большого протяжения, обладают достаточной наглядностью. Этого нельзя сказать об изображениях крупных объектов, таких, как здания, плотины и др. сооружения. В этих случаях предпочтительнее применять изображения, выполненные в центральной проекции (перспективе).

  Чтобы перспективный чертеж был обратимым, на плоскости проекций П" строят центральную проекцию A" (перспективу) изображаемой точки А и перспективу A1" ортогональной проекции A1 точки на горизонтальную плоскость П1, называемую предметной (рис. 8). Плоскость проекций П" (картинную плоскость) выбирают преимущественно перпендикулярной к предметной. Точка A1 называется основанием точки А. В частности, 1 есть основание центра проекций ("глаза") . Зная положение центра относительно картинной плоскости П", можно по данным перспективе A" точки А и перспективе A"1 ее основания найти положение натуральной точки А в пространстве. Для этого нужно провести SA1" и найти A1. Затем построить A1A ^ плоскости П1 и найти точку А пересечения прямых SA" и A1A. Большое значение при построении перспективных изображений имеют т. н. точки схода, являющиеся перспективными изображениями бесконечно удаленных точек пространства, и линия горизонта — перспективное изображение бесконечно удаленной прямой предметной плоскости П1.

  На рис. 9 показано перспективное изображение комнаты. На нем видна главная точка y`¥, которая является точкой схода для всех прямых, перпендикулярных (в натуре) картинной плоскости, и линия горизонта h. Точки схода др. параллельных прямых, лежащих в предметной плоскости, располагаются на линии горизонта h (например, D"¥).

  Используя координатный метод, можно выполнить построение перспективного изображения по способу центральной аксонометрии, аналогично описанной выше параллельной аксонометрии.

  Наряду с построениями перспективных изображений на плоскости (линейная перспектива) на практике употребляются и др. виды центрально-проекционных изображений.

  При построении чертежей, изображающих какую-либо часть земной поверхности, удобно пользоваться так называемыми проекциями с числовыми отметками. В этом случае на чертеже должно быть задано достаточное число точек поверхности (рис. 10). Проектируя ортогонально точки поверхности на плоскость проекций, записывают около проекции каждой точки ее высотную отметку, т. е. число, выражающее высоту точки над плоскостью проекций в избранных единицах длины. Благодаря этому такой чертеж является обратимым. Для увеличения его наглядности и удобства пользования, проекции точек, имеющих одинаковую высоту, соединяют линией, которую называют линией уровня. Если изображена земная поверхность, то плоскость проекций считается горизонтальной; линии уровня называют в этом случае горизонталями. По форме и расположению горизонталей можно (с известной степенью точности) судить о рельефе изображенного участка земной поверхности, построить ее сечение заданной на чертеже плоскостью s (рис. 10), а также решать другие задачи. Такой способ изображения поверхности и саму поверхность, заданную системой горизонталей, называют топографическими.

  Историческая справка. Первые попытки проекционных изображений можно встретить у древних народов еще до нашей эры. Так, римский архитектор Витрувий в своем сочинении "Десять книг об архитектуре" (1 в. до н. э.) дает понятие о плане (горизонтальной проекции) и фасаде (фронтальной проекции) сооружения. Итальянский архитектор и ученый Л. Альберти (15 в. н. э.) уже применяет "точки схода" и дает важный для практики способ построения перспективы при помощи сетки. В "Трактате о живописи" (опубликован 1651) Леонардо да Винчи имеются многочисленные указания о практических применениях перспективных изображений, в частности о "наблюдательной" перспективе. Немецкий художник А. Дюрер в труде "Руководство к измерению..." (1525) предложил способ построения перспективы по горизонтальной и фронтальной проекциям объекта. Особенно полное изложение приемов построения перспективы были даны итальянским ученым Г. Убальди (1600). Научные основы Н геометрия были разработаны Ж. Дезаргом и главным образом Г. Монжем, который считается создателем научной Н геометрия

  В Древней Руси при возведении сооружений применялись изображения, в которых можно заметить элементы геометрического проектирования. Так, изображение города Пскова (1581) было выполнено с соблюдением некоторых законов перспективы. Чертежи изобретателя-самоучки И. П. Кулибина, зодчего Д. В. Ухтомского и др. являются геометрически правильными проекционными изображениями. Курс Н геометрия был впервые введен в 1810 в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения. Первым русским профессором Н геометрия был Я. А. Севастьянов, написавший ряд сочинений по различным вопросам Н геометрия Научному развитию Н геометрия содействовали геометрические работы Е. С. Федорова, который предложил метод изображения точек пространства на плоскости при помощи векторов. Метод Е. С. Федорова был успешно применен в многомерной Н геометрия, которая используется в физико- анализе (школа Н. С. Курнакова). Советские геометры (А. К. Власов, Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и др.) выполнили ряд исследований в области основной теоремы аксонометрии.

  Лит.: Рынин Н. А., Материалы к истории начертательной геометрии, (Библиография, биографии, эпизоды, факты, хронология), Л., 1938; Монж Г., Н геометрия, пер. с (франц.), М., 1947; Федоров Е. С., Новая начертательная геометрия, "Изв. АН", 1917, № 10; Глаголев Н. А., Н геометрия, 3 изд., М., 1953; Вольберг О. А., Лекции по начертательной геометрии, М. — Л., 1947; Курс начертательной геометрии, под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1956; Вопросы современной начертательной геометрии. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М. — Л., 1947; Глазунов Е. А. и Четверухин Н. Ф., Аксонометрия, М., 1953: Методы начертательной геометрии и ее приложения. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1955; Добряков А. И., Курс начертательной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1952.

  Н. Ф. Четверухин.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 29.01.2022 04:24:41
04:05 Вирусолог оценил вероятность возникновения новых пандемий
03:55 Украина провела военные учения по отражению высадки десанта
03:54 В России спрогнозировали возможное снижение цен на продукты
03:40 Вирусолог спрогнозировал продолжительность новой волны коронавируса
03:31 На бросившую девочку к медведю женщину завели уголовное дело
03:27 Названы получившие больше всего денег из центра российские регионы
03:18 Россия потребовала от Канады разъяснения подготовки неонацистов на Украине
03:09 На Украине оценили затраты на стабилизацию гривны
02:56 В Подмосковье спасли из ледяной воды и отогрели лося
02:56 Суд арестовал организатора бойкота ковид-сертификатов в Петербурге
02:53 Эндокринолог назвала способствующие снижению давления продукты
02:50 В Чехии бывшего военного РФ заподозрили в причастности к взрывам складов
Больше новостей
СегодняРоссия «Раньше ничего не боялась» Россиянка 19 лет жила в тайге, где ее отчим спасался от вирусов. Как она вернулась к людям?
СегодняСпорт «Смеялись над нами, как в цирке» Чем советские хоккеисты рассмешили и напугали канадцев перед Суперсерией 1972 года
СегодняЦенности Самый скрытный политик Германии стал канцлером. Он хранит семейные тайны, но с удовольствием говорит о своем богатстве
02:36 США заявили об отсутствии постоянного военного контингента на Украине
02:35 Российские банки обяжут просто и понятно раскрывать условия вкладов
02:28 Девятилетней студентке МГУ предложили вернуться в школу
СегодняКультура Мошенница от бога, молодой Канье и крах семьи: лучшие фильмы «Сандэнса»-2022
СегодняСреда обитания Климатический сдвиг. Как глобальное потепление влияет на психическое здоровье?
02:21 В Киеве оценили численность российских военных на границе с Украиной
02:21 Домики для бездомных кошек в Москве умилили пользователей сети
01:51 Британия решила ослабить «российскую агрессию» в Европе
28 января 2022Россия

Популярное видео

«Отступать некуда» Омикрон, пандемия, отношения с США и Украина — игрушка НАТО: большое интервью Дмитрия Медведева
28 января 2022Россия Путин ужесточил наказание для педофилов. Теперь преступников-рецидивистов будут сажать пожизненно
01:49 Байден заявил о переброске войск США в Европу и страны НАТО в ближайшее время
01:48 В Британии назвали выбранную Джонсоном тему для разговора с Путиным
01:47 Британия анонсировала разговор Джонсона с Путиным
28 января 2022Силовые структуры «Он хотел сделать ее лучшей в мире» История россиянина, который создал и потерял одну из лучших частных школ страны
28 января 2022Путешествия «Ад на Земле существует, и я там был» Туристы рискуют жизнью ради путешествий по Сомали. Зачем им это нужно?
01:45 США усомнились в надежности Германии из-за Украины
01:41 В Подмосковье предотвратили ввоз из-за рубежа зараженных семян моркови
01:30 Глава Минобороны Украины оценил «угрозу вторжения» России
28 января 2022Наука и техника Арсенал демократии. Гранатометы, беспилотники и катера: какое оружие Запад поставляет Украине
27 января 2022Мир Последний маршал. «Исламское государство» бросает вызов талибам в Афганистане. Кого поддержит легендарный командир?
01:17 Тело утонувшей в крещенской проруби россиянки опознали
01:05 США доставили на Украину 81 тонну боеприпасов
00:50 Суд арестовал расстрелявшего сослуживцев украинского срочника
28 января 2022Культура И грянул гром. На экраны вышел триллер о Европе на грани самой большой войны в истории. Почему его важно смотреть?
27 января 2022Бывший СССР Боец Нацгвардии Украины устроил стрельбу на территории оборонного завода. Пять человек убиты, пять ранены, стрелок сдался
00:38 Гинцбург объяснил появление нового коронавируса из ЮАР
00:36 Тату-мастер рассказала о бесплатных татуировках для своих клиенток
00:33 Тихановскую вновь выдвинули на Нобелевскую премию
27 января 2022Силовые структуры «При виде ребенка в них просыпается зверь» Педофилов в России ждет пожизненный срок. Почему эта мера не остановит их?
27 января 2022Экономика «Сохранить холодный разум» Российский рубль резко обвалился. Что делать с деньгами — отвечают экономисты
00:25 Врачи оценили течение COVID-19 у беременных
00:12 Дацик проиграл Пулеметчику в бою по правилам бокса
00:09 Раскрыты планы на ответ Евросоюза в случае введения санкций против РФ
27 января 2022Интернет и СМИ «Внутри меня постоянно идет борьба» Блогер с шизофренией описывает жизнь с расстройством. Почему за ним следят миллионы?
27 января 2022Культура Ведьма-философ, каннибал-комедия и полицейское государство: самые страшные фильмы «Сандэнса»-2022
00:05 Зеленский поговорил по телефону с Макроном
23:59, 28 января 2022 Великобритания обвинила Россию в планировании кибератак
23:58, 28 января 2022 ЕС начал поиск новых поставщиков газа взамен России
27 января 2022Мир США и НАТО ответили на предложения России по безопасности. Запад отказался идти на уступки и сделал встречные предложения
26 января 2022Бывший СССР «Украинское общество готово к драке» Почему в республиках бывшего СССР не прекращаются войны и цветные революции?
23:54, 28 января 2022 Евросоюз отреагировал на новые санкции России
23:52, 28 января 2022 Российские пограничники задержали украинских рыбаков в Крыму
23:45, 28 января 2022 В Пентагоне сравнили ситуацию на российско-украинской границе с холодной войной
26 января 2022Россия Как лечить COVID-19 дома. Инструкция Минздрава для тех, у кого болезнь протекает в легкой форме
26 января 2022Наука и техника «За фасадом сверхдержавы скрывался жестокий и слабый режим» Как Сталин начал новые репрессии после окончания войны
23:39, 28 января 2022 В Госдуме прокомментировали скандал с поддержавшей Путина украинской актрисой
23:33, 28 января 2022 Названо самое серьезное осложнение у детей после перенесенного COVID-19
23:31, 28 января 2022 Минздрав оценил переносимость вакцины от коронавируса у подростков
26 января 2022Ценности Телефоны-раскладушки, кричащая сексуальность и тату на пояснице: как зумеры возвращают в моду стиль своих родителей?
26 января 2022Культура Голливудская цыпа. Мел Гибсон сыграл усатую пародию на самого себя в новом детективе. Что из этого вышло?
23:29, 28 января 2022 Росстат раскрыл данные о смертности в 2021 году
23:28, 28 января 2022 Лидер Аргентины рассказал о попытке убедить Европу в эффективности «Спутника V»
23:20, 28 января 2022 Черчесов рассказал о перенесенном коронавирусе
26 января 2022Среда обитания Зерна катастрофы. Глобальное потепление угрожает существованию кофе. Что будут пить по утрам миллионы людей?
23:20, 28 января 2022 В России предложили провести эксперимент с маркировкой безалкогольных напитков
23:13, 28 января 2022 Популярный российский курорт предложили сделать центром реабилитации после COVID
23:11, 28 января 2022 МИД Германии подтвердил высылку из страны российского дипломата
23:03, 28 января 2022 Названа отличительная особенность новой волны COVID-19
22:58, 28 января 2022 Задержанная жена бывшего чеченского судьи отказалась от адвоката
22:56, 28 января 2022 Анонсирована дата следующих переговоров Лаврова и Блинкена
22:38, 28 января 2022 Президент Грузии объяснила нежелание помиловать Саакашвили
22:55, 28 января 2022 В Москве раскрыта схема мошенничества с налоговыми вычетами
22:40, 28 января 2022 Назван лучший фильм премии «Золотой орел»
22:38, 28 января 2022 В Петербурге арестовали главврача медцентра после смерти троих пациентов
22:35, 28 января 2022 В Пентагоне оценили готовность России вторгнуться на Украину
22:27, 28 января 2022 В ДНР заявили о планах Киева перебросить три бригады к линии соприкосновения
22:23, 28 января 2022 Расстрелявший сослуживцев украинский срочник признал вину
22:20, 28 января 2022 В Совфеде поддержали слова Лаврова о нежелании России вступать в войны
22:10, 28 января 2022 Пентагон раскрыл планы США по участию в боевых действиях на Украине
22:05, 28 января 2022 Зеленский выступил за создание переговорной площадки с Россией и США
21:57, 28 января 2022 Украинская телеведущая публично поддержала Путина и поссорилась с дочерью
21:51, 28 января 2022 Врач рассказал о рисках «естественной иммунизации» с помощью омикрон-штамма
21:51, 28 января 2022 Россия направила ноту в МИД Грузии из-за антироссийской акции
21:48, 28 января 2022 Москвичам пообещали оттепель
21:42, 28 января 2022 Лавров оценил возможность войны с Украиной
21:39, 28 января 2022 Зеленский раскритиковал Германию за позицию по «Северному потоку-2»
21:31, 28 января 2022 Пентагон оценил возможность избежать конфликта вокруг Украины
21:30, 28 января 2022 США доставили новую партию военной помощи на Украину
21:20, 28 января 2022 Газзаев назвал плюсы и минусы Fan ID
21:20, 28 января 2022 Генсек ООН призвал страны к соблюдению олимпийского перемирия
21:08, 28 января 2022 Голикова сообщила о снижении смертности в декабре 2021 года
21:02, 28 января 2022 Воронов обучат собирать окурки за еду
21:01, 28 января 2022 Раскрыты цели санкций США
20:57, 28 января 2022 Сообщество московских мам поддержало создание специальных мест для выгула собак
20:53, 28 января 2022 Зеленский предложил покупаться в море в Одессе после слов Лаврова
20:52, 28 января 2022 Новый дивизион С-400 прикроет Москву
20:51, 28 января 2022 Российские металлурги пожаловались в прокуратуру на главу ФАС
20:44, 28 января 2022 Молдавия из-за газового кризиса резко увеличила тарифы для населения
20:43, 28 января 2022 Найдена вакансия мечты для влюбленных на изолированном острове
20:41, 28 января 2022 США приветствовали слова Лаврова о нежелании войны с Украиной