Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Начертательная геометрия

Начертательная (далее Н) геометрия, раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

  Потребность в изображениях пространственных предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических вопросов (например, строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие живописи и архитектуры, техники и т.п.). Особенно большое значение имеют чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость (проекционные чертежи). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований; важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать пространственное представление изображаемой фигуры; 2) "обратимость" чертежа, т. е. возможность точного определения изображенной фигуры по чертежу; 3) простота выполнения требуемых построений; 4) точность графических решений. В способах построения изображений применяются центральное и параллельное проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций (см. Проекция). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные способом центрального проектирования, который соответствует геометрической схеме возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее употребительными в Н геометрия являются параллельные проекции, которые более просты в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространенным является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный чертеж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 в пространстве. Плоскость П1 располагают горизонтально; ее называют горизонтально и плоскостью проекций, а плоскость П2фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку А пространства проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1); получают горизонтальную проекцию A1 (AA1(плоскости П1) и фронтальную проекцию A2 (AA2 ^ плоскости П2). Три точки А, A1 и A2 лежат в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии p12 пересечения плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию какой-либо фигуры получают, проектируя ортогонально все точки этой фигуры на плоскость П1, фронтальную проекцию — на плоскость П2. Часто бывает полезно добавить третью проекцию фигуры — на плоскость П3, перпендикулярную к плоскостям П1 и П2. Плоскость П3, а также и проекцию на нее называют профильной. Две проекции точки А (например, A1 и A2) вполне определяют третью проекцию (A3).

  Чтобы получить чертеж, состоящий из трех указанных проекций (комплексный чертеж), плоскости П1 и П3 совмещают с плоскостью П2 ("главной" плоскостью) путем вращения их вокруг линий p12 и p23 пересечения этих плоскостей с плоскостью П2 (рис. 2). Обычно на практике не указывается положение осей проекций p12 и p13, то есть положение плоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

  Комплексный чертеж обратим, так как по нему можно определить расстояние между любыми двумя точками натуральной фигуры. Действительно, отрезок AB (рис. 3) в натуре является гипотенузой прямоугольного треугольника ABB*, в котором AB* = A11, а В*В есть разность высот точек В и А, выражаемая на чертеже отрезком 2*2. Отсюда можно получить простое построение натурального отрезка



(рис. 4); для этого нужно построить



  Для увеличения наглядности комплексного чертежа на проекциях фигуры устанавливают "условия видимости": из двух точек А и В, проекции которых на какой-либо из плоскостей проекций совпадают, например A1 º 1, видимой считается та, которая расположена ближе к зрителю; "невидимые" линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример такого изображения пространственной фигуры в трех проекциях, называется "вид спереди" (фронтальная проекция), "вид сверху" (горизонтальная проекция) и "вид слева" (профильная проекция), дан на рис. 5.

  Комплексный чертеж (из двух или трех ортогональных проекций) является наиболее распространенным видом технического чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей — их малая наглядность.

  Для построения более наглядных обратимых изображений в Н геометрия применяется другой способ, называемый аксонометрией.

  При аксонометрии изображаемую фигуру относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая геометрия). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена координатная ломаная OMxM1M для произвольной точки М. Длины координатных отрезков OMx, MxM1, M1M являются координатами х, у, z точки М. Если спроектировать натуральную систему осей Охуz на плоскость П", то получается так называемая аксонометрическая система осей О"х"у"z" (рис. 6). Проекция "M"xM"1M" координатной ломаной состоит из отрезков "M"x, M"xM"1, M"1M", длины которых x", y", z" в аксонометрической системе координат называется аксонометрическими координатами точки М. Отношения



выражают величины искажения координатных отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами) искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию называют изометрией, если хотя бы два из них равны — диметрией, если же все показатели искажения неравны — триметрией.

  Чтобы при помощи аксонометрического способа построить изображение точки М на плоскости П" в данной параллельной проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки М (х, у, z); б) аксонометрическую систему осей О"х"у"z" на плоскости проекций П"; в) показатели искажения u, v, w.

  Тогда по формулам (*) находят аксонометрические координаты точки М"(х", у", z") и строят по ним точку M", являющуюся искомой проекцией точки М. Аксонометрическое изображение пространственной фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрический чертеж обратим: если на аксонометрическом чертеже дана точка M" (х", у", z"), то можно по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, z точки М.

  Если задать произвольную аксонометрическую систему осей "x"y"z" на плоскости проекций П" (не сводящуюся, однако, к одной прямой) и отношение показателей искажения u: v: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме), существует такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости проекций П" и такое направление проектирования, при которых на плоскости П" реализуются ранее выбранная аксонометрическая система осей и отношений показателей искажения.

  Для упрощения аксонометрического способа построения изображений пользуются "приведенной" аксонометрией, в которой аксонометрические координаты стремятся по возможности заменить натуральными без искажения вида чертежа. Так, например, на рис. 7 дана ортогональная изометрия объекта, изображенного на комплексном чертеже (рис. 5), с использованием натуральных координат вместо аксонометрических. При этом происходит изменение масштаба аксонометрического чертежа, но вид его сохраняется, т. е. чертеж изменяется подобно. Аксонометрические изображения предметов, не имеющих большого протяжения, обладают достаточной наглядностью. Этого нельзя сказать об изображениях крупных объектов, таких, как здания, плотины и др. сооружения. В этих случаях предпочтительнее применять изображения, выполненные в центральной проекции (перспективе).

  Чтобы перспективный чертеж был обратимым, на плоскости проекций П" строят центральную проекцию A" (перспективу) изображаемой точки А и перспективу A1" ортогональной проекции A1 точки на горизонтальную плоскость П1, называемую предметной (рис. 8). Плоскость проекций П" (картинную плоскость) выбирают преимущественно перпендикулярной к предметной. Точка A1 называется основанием точки А. В частности, 1 есть основание центра проекций ("глаза") . Зная положение центра относительно картинной плоскости П", можно по данным перспективе A" точки А и перспективе A"1 ее основания найти положение натуральной точки А в пространстве. Для этого нужно провести SA1" и найти A1. Затем построить A1A ^ плоскости П1 и найти точку А пересечения прямых SA" и A1A. Большое значение при построении перспективных изображений имеют т. н. точки схода, являющиеся перспективными изображениями бесконечно удаленных точек пространства, и линия горизонта — перспективное изображение бесконечно удаленной прямой предметной плоскости П1.

  На рис. 9 показано перспективное изображение комнаты. На нем видна главная точка y`¥, которая является точкой схода для всех прямых, перпендикулярных (в натуре) картинной плоскости, и линия горизонта h. Точки схода др. параллельных прямых, лежащих в предметной плоскости, располагаются на линии горизонта h (например, D"¥).

  Используя координатный метод, можно выполнить построение перспективного изображения по способу центральной аксонометрии, аналогично описанной выше параллельной аксонометрии.

  Наряду с построениями перспективных изображений на плоскости (линейная перспектива) на практике употребляются и др. виды центрально-проекционных изображений.

  При построении чертежей, изображающих какую-либо часть земной поверхности, удобно пользоваться так называемыми проекциями с числовыми отметками. В этом случае на чертеже должно быть задано достаточное число точек поверхности (рис. 10). Проектируя ортогонально точки поверхности на плоскость проекций, записывают около проекции каждой точки ее высотную отметку, т. е. число, выражающее высоту точки над плоскостью проекций в избранных единицах длины. Благодаря этому такой чертеж является обратимым. Для увеличения его наглядности и удобства пользования, проекции точек, имеющих одинаковую высоту, соединяют линией, которую называют линией уровня. Если изображена земная поверхность, то плоскость проекций считается горизонтальной; линии уровня называют в этом случае горизонталями. По форме и расположению горизонталей можно (с известной степенью точности) судить о рельефе изображенного участка земной поверхности, построить ее сечение заданной на чертеже плоскостью s (рис. 10), а также решать другие задачи. Такой способ изображения поверхности и саму поверхность, заданную системой горизонталей, называют топографическими.

  Историческая справка. Первые попытки проекционных изображений можно встретить у древних народов еще до нашей эры. Так, римский архитектор Витрувий в своем сочинении "Десять книг об архитектуре" (1 в. до н. э.) дает понятие о плане (горизонтальной проекции) и фасаде (фронтальной проекции) сооружения. Итальянский архитектор и ученый Л. Альберти (15 в. н. э.) уже применяет "точки схода" и дает важный для практики способ построения перспективы при помощи сетки. В "Трактате о живописи" (опубликован 1651) Леонардо да Винчи имеются многочисленные указания о практических применениях перспективных изображений, в частности о "наблюдательной" перспективе. Немецкий художник А. Дюрер в труде "Руководство к измерению..." (1525) предложил способ построения перспективы по горизонтальной и фронтальной проекциям объекта. Особенно полное изложение приемов построения перспективы были даны итальянским ученым Г. Убальди (1600). Научные основы Н геометрия были разработаны Ж. Дезаргом и главным образом Г. Монжем, который считается создателем научной Н геометрия

  В Древней Руси при возведении сооружений применялись изображения, в которых можно заметить элементы геометрического проектирования. Так, изображение города Пскова (1581) было выполнено с соблюдением некоторых законов перспективы. Чертежи изобретателя-самоучки И. П. Кулибина, зодчего Д. В. Ухтомского и др. являются геометрически правильными проекционными изображениями. Курс Н геометрия был впервые введен в 1810 в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения. Первым русским профессором Н геометрия был Я. А. Севастьянов, написавший ряд сочинений по различным вопросам Н геометрия Научному развитию Н геометрия содействовали геометрические работы Е. С. Федорова, который предложил метод изображения точек пространства на плоскости при помощи векторов. Метод Е. С. Федорова был успешно применен в многомерной Н геометрия, которая используется в физико- анализе (школа Н. С. Курнакова). Советские геометры (А. К. Власов, Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и др.) выполнили ряд исследований в области основной теоремы аксонометрии.

  Лит.: Рынин Н. А., Материалы к истории начертательной геометрии, (Библиография, биографии, эпизоды, факты, хронология), Л., 1938; Монж Г., Н геометрия, пер. с (франц.), М., 1947; Федоров Е. С., Новая начертательная геометрия, "Изв. АН", 1917, № 10; Глаголев Н. А., Н геометрия, 3 изд., М., 1953; Вольберг О. А., Лекции по начертательной геометрии, М. — Л., 1947; Курс начертательной геометрии, под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1956; Вопросы современной начертательной геометрии. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М. — Л., 1947; Глазунов Е. А. и Четверухин Н. Ф., Аксонометрия, М., 1953: Методы начертательной геометрии и ее приложения. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1955; Добряков А. И., Курс начертательной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1952.

  Н. Ф. Четверухин.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 19.01.2021 20:44:21
20:19 Показаны внутренности Samsung Galaxy S21
20:19 Тимати решил конкурировать с «Авито»
20:17 Сотрудники сервисов знакомств раскрыли свои «темные секреты»
20:15 В Москве полицейские выдали владельцу автомобиль с трупом
20:11 Девушка бросила пить и похудела на 25 килограммов
20:05 Студентка превратила пакеты из магазинов в модные наряды и прославилась
20:03 Пилот пролежал в больнице с коронавирусом 243 дня и установил рекорд
19:57 В Госдуме подготовили запрет на суррогатное материнство для одиноких россиян
19:56 Зарезавшему жену под арестом российскому полицейскому запросили 19 лет
Больше новостей
СегодняСиловые структуры «Это дурманит и затягивает»Адвоката Маркелова и журналистку Бабурову убили националисты. 12 лет спустя они рассказали о мотивах
18 января 2021Спорт Белоруссию лишили чемпионата мира по хоккею 2021 годаСпонсоры отказались финансировать турнир в Минске. Новое место проведения ЧМ пока неизвестно
СегодняИз жизни «Многие испанцы живут с родителями до 30 лет»История россиянки, которая вышла замуж за испанца, переехала к нему и развелась
19:15 Таксист в Москве подрезал учебную машину и закидал ученицу и инструктора снегом
19:43 Главный конкурент биткоина рекордно подорожал
19:43 Россияне скупили жилье в Турции вопреки пандемии
СегодняДом Осколки СоюзаПанелька-телевизор, летающая тарелка и трансформеры — что осталось от советского наследия в Европе
18 января 2021Мир «Адская битва и невероятное приключение»Трамп спровоцировал мятеж в Вашингтоне. Что ждет США после его ухода?
19:41 Глава IIHF оценил шансы России принять чемпионат мира по хоккею
19:00 Назван лучший сейв недели АПЛ
19:41 Помпео пообещал России новые санкции
18 января 2021Путешествия Лавина обрушилась на людей в Домбае. Есть погибшийЧто известно о происшествии на популярном горнолыжном курорте России
СегодняРоссия «Медсестра забыла открыть заглушку капельницы»Маленькую Варю спасет операция, но до нее надо дожить. Нужна наша помощь
19:31 Иностранные инвестиции в Россию сократились в 20 раз
18:59 Россиянин из-за агрессивной опухоли лишился лица и получил новое
19:35 Украина отреагировала на новые санкции США против «Северного потока-2»
Сегодня Тестируем самый быстрый Mini. И это... шестидверный универсалТри редактора «Мотора» рассуждают о модели, слишком экзотической даже для Mini
15 января 2021Из жизни Пацанка ДжоИстория жизни королевы тропического острова, любовницы Марлен Дитрих и самой быстрой женщины на воде
19:18 Девушка пошла к косметологу и осталась с комками в раздувшихся в три раза губах
18:57 Стало известно о массовых отменах поездок россиян в Турцию из-за коронавируса
19:27 Израильский телеведущий решил привиться вакциной «Спутник V»
18 января 2021Бывший СССР Диктатура в законеВ Киргизии завершилась революция, президентом стал бывший арестант. Куда поведет страну новый лидер?
18 января 2021Ценности Чемпионы стиляКак одежда помогает спортсменам зарабатывать миллионы спустя десятилетия после их побед
19:17 Египтянку арестовали за непристойные кексы
19:08 Мужчина сломал ноги в двух местах ради лишних пяти сантиметров роста
19:16 Назван самый прослушиваемый исполнитель в Spotify
8 января 2021 Партнерский материалБитва чемпионовРоссиянки изо всех сил старались одолеть друг друга на Олимпийских играх. Теперь о них сняли кино
18 января 2021Мир Красный закатСССР давал африканским странам миллиарды на борьбу с Западом. Почему эти деньги были потрачены зря?
18:56 Киркорову запретили въезд в Литву на пять лет
18:47 Кремль отреагировал на новые санкции против «Северного потока-2»
18:52 В США рассказали о российском «подводном Чернобыле»
18 января 2021Интернет и СМИ Троянский коньНапуганные новой политикой WhatsApp люди ринулись в Telegram и Signal. Но так ли они безопасны?
17 января 2021Путешествия «Местные не осуждают любовь за деньги»Шашлычные, цыганки и русские в джунглях: что искать туристу в Колумбии?
18:45 Россиянин табуретом избил знакомого из-за своего авторитета в преступном мире
18:44 Делами здоровья в администрации Байдена займется трансгендер
18:27 США потратили миллионы долларов на скорую помощь для инаугурации Байдена
18 января 2021Культура «В борьбе за власть изуродовали Москву»Как СССР начал отрицать прошлое и до неузнаваемости изменил сознание людей
17 января 2021Россия «Чтобы выжить, необходимо было отказаться от смелости»СССР пытался создать поколение мужчин-героев. Что из этого вышло?
18:24 Двоих испанских футболистов посадили в тюрьму за секс-видео
18:19 Генконсульству России в Нью-Йорке отключили телефонную связь
18:22 Телеведущая стала жертвой мошенников и лишилась работы
18 января 2021 Мы их потеряли: автомобильные марки США, которых больше нетПережили XX век, но исчезли в двадцать первом. Вспоминаем ликвидированные американские компании
16 января 2021Спорт «Меня называли сексом на коньках»История немецкой фигуристки, которая выиграла Олимпиаду, снялась для Playboy и отказала Трампу
18:12 Крокодил напал на женщину у нее во дворе
18:15 Еще одна компания отказалась от участия в «Северном потоке-2»
17:59 В России начнут заботиться об экологии по-новому
17 января 2021Из жизни «Страдания открыли мне великую истину»Женщина семь лет искала автора письма в бутылке и нашла. Ей помогали детективы и экстрасенсы
17 января 2021Наука и техника Нам бы их проблемыСмартфон-рулон, умный унитаз и датчик мочевого пузыря: самые странные изобретения 2021 года
18:03 Samsung похоронила Galaxy S20
17:48 На Украине накрыли крупную лабораторию по производству метадона
17:48 Лавров пригрозил Норвегии из-за военной активности у границ России
16 января 2021Ценности «Влюбила в себя султана»Как правитель Малайзии женился на российской модели и с чем оставил ее и сына после развода
16 января 2021Силовые структуры Смерть на обочинеДерзкое нападение на инкассаторов в Крыму потрясло СССР. Прошло полвека, а виновных так и не нашли
17:41 В администрации Байдена назвали расизм причиной изменения климата
17:48 Биолог рассказала о параличе лицевого нерва после вакцинации от COVID-19
17:35 На москвича за отсутствие маски напали охранник без маски и полицейские
17:42 Названы лучшие игроки 19-го тура АПЛ
17:35 В Швейцарии предложили ввести запрет на запреты из-за коронавируса
17:30 Ботинки популярного в 90-х бренда вновь вернулись в моду
17:21 Месси дисквалифицировали за удар соперника по лицу