|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Многоугольник | Многоугольник (далее М) замкнутая ломаная линия. Подробнее, М — линия, которая получается, если взять n любых точек A1, A2, ..., An и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю — с первой (см. рис. 1, а). Точки A1, A2, ..., An называются вершинами М, а отрезки A1A2, А2А3, ..., An-1An, AnA1 — его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М (т. е. предполагается, что М лежит в одной плоскости). М может сам себя пересекать (см. рис. 1, б), причем точки самопересечения могут не быть его вершинами.
Существуют и другие точки зрения на то, что считать М Мом можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1, г), т. е. такой М может иметь "многоугольные дыры". Рассматриваются также бесконечные М — части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М Если М не пересекает сам себя (см., например, рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нем не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М, а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М). Внутренняя по отношению к М часть плоскости имеет определенную площадь. Если М — самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определенное число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М), а остальные конечные односвязные (называются внутренними), причем граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М, стороны которого есть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного М Если каждой стороне М приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих ее вершин мы будем считать ее началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М, считается положительной, если контур М обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М остается слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае. Пусть М — самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р — q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается "площадью" рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М). Так определяемая "площадь замкнутого пути" играет большую роль в теории математических приборов (планиметр и др.); она получается там обычно в виде интеграла  (в полярных координатах r, w) или  (в декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора r или ординаты y один раз обегает этот путь.
Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М с n сторонами равна (n — 2)180°. М называется выпуклым (см. рис. 1, а), если никакая сторона М, будучи неограниченно продолженной, не разрезает М на две части. Выпуклый М можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М, не пересекает М Всякий выпуклый М — самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1, б изображен самонепересекающийся М, который не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает М
Важнейшие М: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырехугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М только в том случае, если число сторон М равно m = 3 · 2n, 4 · 2n,5 · 2n, 3 · 5 · 2n, где n — любое положительное число или нуль. Немецкий математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М, когда число его сторон имеет вид: m = 2n · p1 · p2 · ... · pk, где p1, p2, ... pk — различные простые числа вида  (s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р: 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких других правильных М, кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...
В приведенной ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n-yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона которого равна k.
n
|
Радиус описанной окружности
|
Радиус вписанной окружности
|
Площадь
|
3
|
|
|
|
4
|
|
|
|
5
|
|
|
|
6
|
k
|
|
|
8
|
|
|
|
10
|
|
|
|
Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М, т. е. такие, у которых все стороны равны и каждая следующая из сторон повернута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого М также лежат на одной окружности. Такова, например, пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М от треугольника до семиугольника.
Лит. см. при ст. Многогранник.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 21.11.2024 11:56:52
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
