Линия (геометрич. понятие)

Линия (далее Л) (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.

1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л (геометрич. понятие), отрезки прямых, ломаные Л (геометрич. понятие), составленные из отрезков, и некоторые кривые Л (геометрич. понятие) Каждый вид кривых Л (геометрич. понятие) определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л (геометрич. понятие) как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчетливой формулировки.

2) Представление о Л (геометрич. понятие) как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л (геометрич. понятие) Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

x = R cos t, y = R sin t.

Когда параметр t пробегает отрезок 0 £ t £ 2p, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л (геометрич. понятие) на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

x = j (t), у = (t),

где j (t), (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л (геометрич. понятие), заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M₁ соответствует значению параметра t₁, а точка M₂ — значению t₂, то M₁ считается предшествующей M₂, если t₁ < t₂ При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Аналогично, в трехмерном пространстве Л (геометрич. понятие) задается параметрически тремя уравнениями вида

x = j (t), у = (t), z = c (t),

где j (t), (t), c (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трехмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л (геометрич. понятие) параметрически задают уравнением вида

= j (t),

где j — функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л (геометрич. понятие), если они определяют один и тот же порядок следования ее точек (в смысле, указанном выше).

В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а £ t £ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления

Р = j (t), a £ t £ b

= j₁(t₁), a₁ £ t₁ £ b₁,

изображали одну и ту же Л (геометрич. понятие), заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

t₁ =f(t),

для которой

f(a) = a₁, f(b) = b₁, j (t) = j₁(f(t)).

Такое понимание термина "Л (геометрич. понятие)" наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л (геометрич. понятие) здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает ее точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л (геометрич. понятие) через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л (геометрич. понятие) может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

Например, при изменении t в пределах — ¥ < t < ¥ точка с координатами

описывает строфоиду (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = — 1 и t = + 1.

3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л (геометрич. понятие) на плоскости уравнением

(x, y) = 0;

в пространстве — двумя уравнениями

(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.

Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л (геометрич. понятие) (кривой) — Л (геометрич. понятие), определяемой уравнением

(x, y) = 0,

где (x, у) — целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1. В этом случае считают, что два многочлена ₁(x, у) и ₂(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л (геометрич. понятие) в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

₁(x, y) = cF₂(x, у).

Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л (геометрич. понятие), имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л (геометрич. понятие) Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

(х - у)² = 0

определяет Л (геометрич. понятие) второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.

В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л (геометрич. понятие), т. е. таких Л (геометрич. понятие), для которых многочлен не допускает представления = GH, где G и Н — отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

Говорят, что точка (x₀, y₀) кривой (x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение (x, у) по степеням x = х — x₀, h = у — y₀ начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки

(x, у) = а₁₁(х — x₀)² + 2а₁₂(х — x₀) (у — y₀) + a₂₂(y — y₀)² + ...,

где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

d = a₁₁a₂₂ — а₁₂²

можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).

4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л (геометрич. понятие), целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удаленные и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учете кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л (геометрич. понятие) порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л (геометрич. понятие) как число n точек ее пересечения с прямой.

С проективной точки зрения естественно задавать Л (геометрич. понятие) на плоскости однородным уравнением

(x₁, x₂, x₃) = 0

между однородными координатами x₁, x₂, x₃ ее точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л (геометрич. понятие) уравнением

(x₁, x₂, x₃) = 0,

связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л (геометрич. понятие) Таким образом, наряду с порядком Л (геометрич. понятие) (степенью уравнения = 0) естественно возникает понятие класса Л (геометрич. понятие) — степени уравнения = 0. Класс алгебраических Л (геометрич. понятие) можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л (геометрич. понятие) из произвольной точки. О параметрическом представлении Л (геометрич. понятие) см. также Уникурсальные кривые.

5) Рассмотренные выше (в пунктах 2—4) уточнения и обобщения понятия Л (геометрич. понятие) существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л (геометрич. понятие) как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

Если исходить из параметрического задания Л (геометрич. понятие) в виде непрерывной функции = j (t), где t пробегает отрезок а £ t £ b, но интересоваться только полученным множеством точек без учета порядка их следования, то приходят к понятию Л (геометрич. понятие), сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л (геометрич. понятие) в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л (геометрич. понятие) Простые дуги и простые замкнутые Л (геометрич. понятие) не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л (геометрич. понятие)

Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л (геометрич. понятие), в современной топологии пользуются понятием Л (геометрич. понятие), введенным в 1921 П. С. Урысоном, который определяет Л (геометрич. понятие) (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л (геометрич. понятие) в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л (геометрич. понятие), лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л (геометрич. понятие), лежащим на плоскости, иногда и общие Л (геометрич. понятие) в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми".

Л (геометрич. понятие) Н. Колмогоров.

6) Еще математики древности изучали линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л (геометрич. понятие) более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л (геометрич. понятие) Систематическое изучение Л (геометрич. понятие) и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт).

Из Л (геометрич. понятие) третьего порядка наиболее известны:

Декартов лист (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 1). уравнение в прямоугольных координатах: x³ + y³ — 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( —а, 0) и (0, —а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли. Название "декартов лист" установилось в начале 18 в.

Локон Аньези (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 2). Пусть имеется круг с диаметром = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a³/(a² + x²). Исследование этой Л (геометрич. понятие) связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

Кубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 3). уравнение в прямоугольных координатах: у = x³.

Полукубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 4), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх^3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину ее дуги.

Строфоида (от греч. stróphos — крученая лента и éidos — вид) (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне ее на расстоянии = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке . Если от точки отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM" = , то геометрическое место точек М и М" для всех положений вращающегося луча и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах:

; в полярных координатах: r = —a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

Циссоида Диоклеса (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 6) (греч. kissoeides, от kissós — плющ и éidos — вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р — произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y² = х³/(а — х); в полярных координатах: r = asin² j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

Из Л (геометрич. понятие) четвертого и более высоких порядков наиболее известны:

Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2ах)² = 4a(x² + y²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides — похожий на раковину) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = — d или OM" = + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (х — а)²(х²+ y²) — d²x² = 0, в полярных координатах: r = a/cosj ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250—150 до нашей эры), который использовал ее для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.

Лемниската Бернулли (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 3) (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмерки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов ₁ ( — а, 0) и ₂ (а, 0) равно а². уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y²)² — 2a² (x² — y²) =0, в полярных координатах: r² = 2а² cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

Овалы Декарта (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек ₁ и ₂, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF₁ + + nMF₂ = с. уравнение в прямоугольных координатах:

(x + y" —2rx)² — l²(x²+ y²) — k = 0,

где r, l и k — некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:

(n² — m²)(²+ 2((mc — n2d cos () + n²d² — с² = 0.

Помимо фокусов ₁ и ₂, имеется и третий фокус ₃, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = —1 — в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).

Овалы Кассини (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть ₁ и ₂ точки на оси абсцисс, ₁₂ = 2b, а произведение MF₁×MF₂ = а². уравнение в прямоугольных координатах:

(x² + y²)² — 2b²(a² — y²) = a⁴ — b⁴.

Если

, то овал Кассини — выпуклая кривая; если b < a <

, то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

Улитка Паскаля (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 6), геометрическое место точек М и M", расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM" = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского ученого Э. Паскаля (1588—1651), впервые изучавшего ее.

Астроида (от греч. ástron — звезда и éidos — вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x^2/3 + y^2/3 = а^2/3, где а — радиус неподвижной окружности. Астроида — линия 6-го порядка.

Розы (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 8), кривые, полярное уравнение которых: r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраической Л (геометрич. понятие) четного порядка. При m нечетном роза состоит из от лепестков, при m четном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 9), кривые, полярное уравнение которых r^m = a^m cosmj; если m — рациональное число, то эти Л (геометрич. понятие) — алгебраические. Частные случаи: m = 1 — окружность, m = — 1 — прямая, m = 2 — лемниската Бернулли, m = —2 — равнобочная гипербола, m = ¹/₂ — кардиоида, m = — ¹/₂ — парабола. При целом m > 0 Л (геометрич. понятие) состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л (геометрич. понятие) состоит из от бесконечных ветвей.

Большой интересный класс составляют трансцендентные Л (геометрич. понятие) К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие Л (геометрич. понятие):

Квадратриса (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А"В" равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной . Далее, пусть за время движения A" от AB до прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение . Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A" и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах:

; в полярных координатах:

. Часть квадратрисы, заключенная в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему ее для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.

Трактриса (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:

.

Цепная линия (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжелая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a = а (e^x/a + е^-х/a)/2.

Циклоида (от греч. kykloeides — кругообразный) (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4а), если она лежит внутри круга (r > а), — укороченную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4б), если точка вне круга (r < а), — удлиненную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4в). Две последние Л (геометрич. понятие) называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:

.

Среди трансцендентных Л (геометрич. понятие) особый класс составляют спирали (от греч. spéira, буквально — витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от нее. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:

Архимедова спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а — постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

Гиперболическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что ее расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j.

Жезл (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах:

. Каждому значению j соответствуют два значения r — положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.

Логарифмическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = ае^к^j. Была известна многим математикам 17 в.

Спираль Корню (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:

, y = a

.

Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.

-ci-спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид

,

si(t) и ci(t) — интегральный синус и интегральный косинус.

К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:

Гипоциклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри ее. Уравнение в параметрической форме:

,

где А — радиус неподвижной, а а — подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.

Эпициклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне ее. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на — а.

Удлиненная гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) ее (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 3б, 4б). Удлиненные и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.

В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. — Л (геометрич. понятие), 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1—2, Lpz. — ., 1910—11.

		Новости 21.11.2024 11:50:03

	Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.