Квантовая механика

Квантовая механика (далее К) волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, молекул, ядер) и их систем (например, а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Законы К составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение ядер атомных, изучать свойства элементарных частиц. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. К позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоемкости газов и твердых тел, определить строение и понять многие свойства твердых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звезды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звездах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Ряд крупнейших технических достижений 20 в. основан по существу на специфических законах К Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения. Законы К используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К становится в значительной мере "инженерной" наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место квантовой механики среди других наук о движении. В начале 20 в. выяснилось, что классическая механика И. Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она не применима при больших скоростях движения тел - скоростях, сравнимых со скоростью света. Здесь ее заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория). Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. Ниже термин "классическая механика" будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.

Для классической механики в целом характерно описание частиц путем задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения дает К. М., которая включает в себя как частный случай классическую механику. К, как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К (Однако некоторые общие положения относятся к К в целом. Нерелятивистская К (как и механика Ньютона для своей области применимости) - вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физическую задачу. Релятивистская К не является в такой степени завершенной и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятивистской области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передается (распространяется) с конечной скоростью, должен существовать физический агент, переносящий взаимодействие; таким агентом является поле. Трудности релятивистской теории - это трудности теории поля, с которыми встречается как релятивистская классическая механика, так и релятивистская К В этой статье не будут рассматриваться вопросы релятивистской К, связанные с квантовой теорией поля.

Критерий применимости классической механики.

Соотношение между Ньютоновой и релятивистской механикой определяется существованием фундаментальной величины - предельной скорости распространения сигналов, равной скорости света с (с " 3×10¹⁰ см/сек). Если скорости тел (значительно меньше скорости света (т. е. u/c << 1, так что можно считать с бесконечно большой), то применима Ньютонова механика.

Соотношение между классической механикой и К носит менее наглядный характер. Оно определяется существование другой универсальной мировой постоянной - постоянной Планка h. Постоянная h (называемая также квантом действия) имеет размерность действия (энергии, умноженной на время) и равно h = 6,662×10^–27 эрг×сек. (В теории чаще используется величина h = h/2p = 1,0545919×10^–27 эрг×сек, которую также называют постоянной Планка.) Формально критерий применимости классической механики заключается в следующем: если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой), применима классическая механика. Более подробно этот критерий будет разъяснен при изложении физических основ К

История создания квантовой механики. В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая - с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения (см. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света n и равна E = hn

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К в дух ее формах к 1927. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой была дана теория фотоэффекта - явления вырывания светом электронов из вещества. В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету - что сам свет состоит из отдельных порций - световых квантов (которые позднее были названы фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний n волны соотношением Планка E = hn

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона (см. Комптона эффект). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией E = hn следует приписать импульс р = h/l = hn/c, где l - длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением E = cp, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.

Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц - фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в формуле E = hn, не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой - частота n является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ К

В 1924 Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором условиям квантования орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой l связана с импульсом частицы р соотношением

.

По этой гипотезе не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции. В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. Дифракция частиц). В 1926 Э. Шредингер предложил уравнение, описывающее поведение таких "волн" во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шредингера является основным уравнением нерялитивистской К В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской К

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии hn. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться hn, где n - частота колебаний Теория Эйнштейна, уточненная П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твердых тел.

В 1913 Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату - невозможности стабильного существования согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10^–8 сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в т.к. существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрическом поле ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определенным условиям квантования. Т. е. в существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определенной закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка

. Бор постулировал, что, находясь на определенном уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i, на другой с меньшей энергией E_k, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

hn = E_i-E_k. (2)

Так возникает линейчатый спектр - основная особенность спектров, Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий (и охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул (см. Спектральные серии).

Существование уровней энергии в было непосредственно подтверждено Франка - Герца опытами (1913-14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с только определенные порции энергии, равные разности энергетических уровней
Т. о., Н. Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснен на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счет нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой - привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных (даже в возникновение молекулярной связи и т.д. "Полуклассическая" теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая напряженная разработка вопросов теории привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно. Осознание того факта, что движение электронов в не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как движение по определенной траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в и что необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям В 1925 В. Гейзенбергу удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины - матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шредингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шредингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование К как последовательной физической теории с ясными основами и стройным математическим аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в которой было сформулировано неопределенностей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений К, ее связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты К Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров привел к представлению (введенному впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана еще одна внутренняя характеристика (квантовое число) - спин. Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундаментальное значение в теории молекулы, ядра, твердого тела.

В течение короткого времени К была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории спектров, строения молекул, связи, периодической системы Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными. Дальнейшее принципиальное развитие квантовой теории связано главным образом с релятивистской К Нерелятивистская К развивалась в основном в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики молекул, твердых тел (металлов, полупроводников), плазмы и т.д., а также совершенствования математического аппарата и разработки количественных методов решения различных задач.

Вероятности и волны. Поскольку законы К не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической механики, целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К, и только после этого сформулировать ее основные положения. Выбор фактов, на основе которых строится теория, конечно, не единствен поскольку К описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для ее обоснования. Будем исходить из требований простоты и возможной близости к истории.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка . Часть света проходит через пластинку, а часть отражается. Известно, что свет состоит из "частиц" - фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании на пластинку? Если поставить опыт (например, с пучком света крайне малой интенсивности), в котором можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что фотон при встрече с пластинкой не расщепляется на два фотона, его индивидуальность как частицы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту, т. е. "цветность"). Оказывается, что некоторые фотоны проходят сквозь пластинку, а некоторые отражаются от нее. В чем причина этого? Может быть, имеется два разных сорта фотонов? Поставим контрольный опыт: внесем такую же пластинку на пути прошедшего света, который должен бы содержать только один из двух "сортов" фотонов. Однако будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдет вторую пластинку, а часть отразится. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному. А это означает, что поведение фотона при встрече с пластинкой непредсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классической механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод является одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами частиц и построения теории квантовомеханических явлений.

Задача отражения света от прозрачной пластинки не представляет какой-либо трудности для волновой теории: исходя из свойств пластинки, волновая оптика однозначно предсказывает отношение интенсивностей прошедшего и отраженного света. С корпускулярной точки зрения, интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Обозначим через общее число фотонов, через ₁ и ₂ - число прошедших и число отраженных фотонов (₁ + ₂ = ). Волновая оптика определяет отношение ₁/₂, и о поведении одного фотона, естественно, ничего сказать нельзя. Отражение фотона от пластинки или прохождение через нее являются случайными событиями: некоторые фотоны проходят через пластинку, некоторые отражаются от нее, но при большом числе фотонов оказывается, что отношение ₁/₂ находится в согласии с предсказанием волновой оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью понятия вероятности (см. Вероятностей теория). Фотон может с вероятностью w₁ пройти пластинку и с вероятностью w₂ отразиться от нее. При общем числе фотонов в среднем пройдет пластинку w₁ частиц, а отразится w₂ частиц. Если очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел частиц точно совпадают с истинными (хотя флуктуации существуют, и классическая оптика их учесть не может). Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдет одно из двух альтернативных (взаимно исключающих) событий - прохождение или отражение, равна w₁ + w₂ = 1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w²₁, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй - w₁×w₂ (это отвечает тому, что на второй пластинке свет, прошедший первую пластинку, разделяется на прошедший и отраженный в том же отношении, как и на первой). Это закон умножения вероятностей (справедливый для независимых событий).

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие "классических" частиц с "квантовыми" с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределенностей и делало бы поведение "классических" частиц также непредсказуемым (в смысле классического детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов - такова возможная формулировка задачи К, в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классическая механика нуждается в абсолютно точном задании начальных условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же начальные условия заданы не точно, а с некоторой степенью неопределенности, то и предсказания будут содержать неопределенности, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистическая физика, оперирующая с некоторыми усредненными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классическая механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К и классической механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отраженный пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (например, в тот же регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отраженного пучков. Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и может меняться в довольно широких пределах и в некоторых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отраженного света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это - явление интерференции света. Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте? Вероятность его попадания в данный существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к существенным образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путем прошел фотон от источника к Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнем, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а дается лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идет не только о свете, но и о любых пучках частиц, например электронов.) Полученный результат означает невозможность классического описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся все же выяснить, каким путем прошла частица, поставив на возможных ее путях Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определенную траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, которое было бы в случае "классических" частиц, движущихся по определенным траекториям.

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в которых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерительные приборы. В классической физике предполагается, что роль измерительного прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерительный прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерительного прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована Н. Бором и В. Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределенностей, которое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К не изучаются физические явления безотносительно к приборам, например свойства частиц "самих по себе". Так, решаемые К задачи об энергетических уровнях о рассеянии микрочастиц при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях - это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфические вопросы, некоторые из которых лишены, как выяснилось, смысла (например, вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т.к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернемся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определенному пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действительных величин - амплитуды А и фазы j - принято объединять в одно комплексное число, которое называют комплексной амплитудой: y = Aeⁱ^j. Тогда интенсивность равна = |y|² = y*y = A², где y* - функция, комплексно сопряженная с y. Т. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны y₁ и y₂, но одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн ₁ = A₁², ₂ = A₂², и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна y₂ с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны y₁ (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учетом их фаз. Суммарная волна y имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:

.

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз j₁ - j₂ (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):

. (4)

В частности, при A₁ = A₂ и cos (j₁ - j₂) = - 1 |y|² = 0.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (например, из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

где c₁ и c₂ - комплексные числа:

.

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить y в С раз, то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей. Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физические результаты не содержат фазы числа С - она произвольна.

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К Поскольку К имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности y = Aeⁱ^j, полагая (по аналогии с оптическими волнами), что вероятность w = |cy|² = |c|y*y. Здесь с - число, называемое нормировочным множителем, который должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных местах равнялась 1, т. е.

. Множитель с определен только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абсолютной вероятности; относительные вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности называются в К также волновой функцией.

Амплитуды вероятности (как оптические амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если y₁ и y₂ - амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путем, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна y = y₁+y₂. Тем самым фраза: "частица прошла двумя путями" приобретает волновой смысл, а вероятность w = |y₁+y₂|² обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т.к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханические амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классической точки зрения, исключающие друг друга) движения (например, волны y₁ и y₂ соответствуют частицам, приходящим в двумя различными путями). С классической точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханического принципа суперпозиции. Избежать формального логического противоречия квантовомеханического принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведет к тому, что с вероятностью |y₁|² частица пройдет первым и с вероятностью |y₂|² - вторым путем. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью |y₁|² + |y₂|², т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физической системы в К, является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Основная черта такого квантовомеханического описания - предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции - основной принцип К В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), которым соответствуют волновые функции y₁, y₂,..., y_i,..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией

,

где c_i - произвольные комплексные числа. Если y_i описывают альтернативные состояния, то |c_i|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией y_i, и

Волны де Бройля и соотношение неопределенностей. Одна из основных задач К - нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р связана волна с длиной l = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы y(х) - волна де Бройля - должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении х на l волновая функция y возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция eⁱ²^p^x/l. Если ввести величину k = 2p/l, называемую волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид:

. Т. о., если частица имеет определенный импульс р, то ее состояние описывается волновой функцией

, (5)

где С - постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат ее модуля |y₁|² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Другими словами, частица со строго определенным импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация - полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определенной длиной волны, а следовательно, и строгая определенность импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определенным является импульс частицы, тем менее определенно ее положение (координата). В этом заключается специфический для К принцип неопределенности. Чтобы получить количественное выражение этого принципа - соотношение неопределенностей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключенными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция y(х) (она называется волновым пакетом) имеет такой характер: вблизи некоторого фиксированного значения x₀ все амплитуды сложатся, а вдали от x₀ (|х - x₀| >> l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной Dх, обратно пропорциональной интервалу Dk, т. е. Dх " 1/Dk, или

(где

- неопределенность импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Математически любую функцию y(х) можно представить как наложение простых периодических волн - это известное Фурье преобразование, на основании свойств которого соотношение неопределенностей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DхDk ³ ¹/₂, или

, (6)

причем под неопределенностями Dр и Dх понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Физическая интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классической механике) не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределенностей этих величин задается постоянной Планка

, в этом заключен важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределенности, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классической механики (как движение по определенной траектории).

Принцип неопределенности является фундаментальным принципом К, устанавливающим физическое содержание и структуру ее математического аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристическую роль, т.к. многие результаты К могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределенностей. Важным примером является проблема устойчивости о которой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью u. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e²/r², где е - абсолютная величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно u²/r. По второму закону Ньютона mu²r = e²/r², где m - масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = е²/mu² может быть сколь угодно малым, если скорость u достаточно велика. Но в К должно выполняться соотношение неопределенностей. Если допустить неопределенность положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределенность скорости - в пределах u, т. е. импульса в пределах Dр = mu, то соотношение неопределенностей примет вид:

. Воспользовавшись связью между u и r, определяемой законом Ньютона, получим

. Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим

см, невозможно, электрон не может упасть на ядро - устойчив. Величина r₀ и является радиусом ("боровским радиусом"). Ему соответствует максимально возможная энергия связи E₀ (равная полной энергии электрона в т. е. сумме кинетической энергии mu²/2 и потенциальной энергии - e²/r₀, что составляет E₀ " -13,6 эв), определяющая его минимальную энергию - энергию основного состояния.

Т о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры (выразив его радиус через мировые постоянные

, m, е). "Малость" размеров оказалась связанной с тем, что "мала" постоянная

.

Примечательно, что современные представления об обладающих вполне определенными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних чем основанная на законах классической механики планетарная модель позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в получается из квантовомеханического уравнения движения - уравнения Шредингера (см. ниже); решение уравнения Шредингера дает волновую функцию y, которая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида y, можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, которая соответствует локализации электрона в области с размером ³ r₀ и разбросу по импульсам

.

Соотношение неопределенностей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, которое ни при каких температурах не превращается при нормальном давлении в твердое состояние ( дает качественное представления о структуре и размерах ядра и т.д.

Существование уровней энергии - характерное квантовое явление, присущее всем физическим системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределенностей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе уравнения Шредингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энергетические уровни) E_n >E₀ соответствуют возбужденным состояниям квантовомеханической системы (см., например, Атом).

Стационарное уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией (называемой также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы y определяется дифференциальным уравнением, которое получается путем следующего обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией E происходит в одном измерении (вдоль оси х), уравнение,. которому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

, (*)

где

- импульс свободно движущейся частицы (массы m). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле (x), не зависящем от времени, то квадрат ее импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен

. Простейшим обобщением уравнения (*) является поэтому уравнение

. (7)

Оно называется стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шредингера и относится к основным уравнениям К Решение этого уравнения зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала (x). Рассмотрим несколько типичных случаев.

1) = const, E > . Решением является волна де Бройля y = ^ikx, где

E - - кинетическая энергия частицы.

2) Потенциальная стенка:

= 0 при х < 0,

= ₁ > 0 при х > 0.

Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е. E > ₁, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение уравнения (7) в области x < 0 имеет вид двух волн де Бройля - падающей и отраженной:

,

где

(волна с волновым числом k = –k₀ соответствует движению справа налево с тем же импульсом p₀), а при х > 0 - проходящей волны де Бройля:

, где

.

Отношения |₁/₂|² и |"₀/₀|² определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от нее. Наличие отражения - специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): "классическая" частица проходит над барьером, и лишь импульс ее уменьшается до значения

.

Если энергия частицы меньше высоты стенки, E < (рис. 4, а), то кинетическая энергия частицы E - в области х > 0 отрицательна. В классической механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства - она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отрицательное значение

означает, что k - чисто мнимая величина, k = ic, где c вещественно. Поэтому волна e^ikx превращается в e^-^c^x, т. е. колебательный режим сменяется затухающим (c > 0, иначе получился бы лишенный физического смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетической схемой на рис. 4, а (и рис. 4, б) изображено качественное поведение волновой функции y(х), точнее ее действительной части.

3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером , и частица движется к барьеру слева с энергией E < (рис. 4, б). Согласно классической механике, частица отразится от барьера; согласно К, волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а справа будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т. е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, частица может пройти сквозь барьер. Коэффициент (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность - E) барьера. Этот типично квантовомеханический эффект, называемый туннельным эффектом, имеет большое значение в практических приложениях К Он объясняет, например, явление альфа-распада - вылета из радиоактивных ядер a-частиц (ядер В термоядерных реакциях, протекающих при температурах в десятки и сотни млн. градусов, основная масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия ядерных сил в результате туннельных (подбарьерных) переходов. Возможность туннельных переходов объясняет также автоэлектронную эмиссию - явление вырывания электронов из металла электрическим полем, контактные явления в металлах и полупроводниках и многие др. явления.

Уровни энергии. Рассмотрим поведение частицы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть потенциал отличен от нуля в некоторой ограниченной области, причем < 0 (силы притяжения). При этом и классическое, и квантовое движения существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия E частицы. При E > 0 "классическая" частица проходит над ямой и удаляется от нее. Отличие квантовомеханического движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены - энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E < 0 частица оказывается "запертой" внутри ямы. В классической механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях E < 0. В К ситуация существенно меняется. Волновая функция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е^-^c^|х|. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определенных дискретных значениях. Число таких дискретных значений E_n может быть конечным или бесконечным, но оно всегда счетно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E₀ (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n называется квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот

где w = 2pn - угловая частота) - типично волновое явление. Его аналогии наблюдаются в классической физике, когда волновое движение происходит в ограниченном пространстве. Так, частоты колебаний струны или частоты электромагнитных волн в объемном резонаторе дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в которой происходят колебания. Действительно, уравнение Шредингера математически подобно соответствующим уравнениям для струны или резонатора.

Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях "заперта" внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня

; это наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределенн

		Новости 21.11.2024 11:55:08

	Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.