Большая Советская Энциклопедия.
Купить в москве софосбувир и даклатасвир.
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление (далее И)раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями Интегральное исчисление являются понятия определенного интеграла и неопределенного интеграла функций одного действительного переменного.

  Определенный интеграл. Пусть требуется вычислить площадь "криволинейной трапеции" - фигуры ABCD (см. рис.), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и . Для вычисления площади этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок (ab)) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x0 < x1 < ... < xn-1 < < xn = b, обозначая длины этих участков Dx1, Dx2, ..., Dxn; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (x1), f (x2), ..., f (xn) где xk - некоторая точка из отрезка (xk - 1, xk) (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (xk) - его высота). Сумма n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади криволинейной трапеции:

" n = f (x1) Dx1 + f (x2) Dx2 + f (xn) Dxn

или, применяя для сокращения записи символ суммы (греческая буква "сигма"):



Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины Dxk участков разбиения. Для нахождения точного значения площади надо найти предел сумм n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Dxk стремится к нулю.

  Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определенного интеграла от функции f (x), непрерывной на отрезке (а, b), как к пределу интегральных сумм n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается



Символ ò (удлиненное - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определенного интеграла. Если а = b, то, по определению, полагают



кроме того,



  Свойства определенного интеграла:





(k - постоянная). Очевидно также, что



(численное значение определенного интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования).

  К вычислению определенных интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи "нахождения квадратур"), длин дуг кривых ("спрямление кривых"), площадей поверхностей тел, объемов тел ("нахождение кубатур"), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f (x) на отрезке (a, b), выражается интегралом



объем тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox,- интегралом



поверхность этого тела - интегралом



  Фактическое вычисление определенных интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определенный интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определенные интегралы удается вычислять с помощью предварительного отыскания неопределенных интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближенному вычислению определенных интегралов, применяя различные квадратурные формулы (например, трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближенное вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближенного вычисления определенных интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).

  Понятие определенного интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами.
  Выражения вида


где функция f(x, a) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция).

  Неопределенный интеграл. Нахождение неопределенных интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется ее производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция (x) является первообразной для данной функции f (x), если "(x) = f (x) или, что то же самое, dF (x) = f (x) dx. Данная функция f (x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f (x) содержатся в выражении (x) + С, которое называют неопределенным интегралом от функции f (x) и записывают



  Определенный интеграл как функция верхнего предела интегрирования



("интеграл с переменным верхним пределом"), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет установить основную формулу Интегральное исчисление (формулу Ньютона - Лейбница):



выражающую численное значение определенного интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

  Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами



  Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где , m, a, k - постоянные и m ¹ -1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования<


¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾



¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

  Трудность Интегральное исчисление по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, "в конечном виде". Интегральное исчисление располагает лишь отдельными приемами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

  К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций



где (x) и Q(x) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от



или же от x и рациональных степеней дроби



В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределенными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм, Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).

  Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции) и вектор-функции (см. Векторное исчисление).

  О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл.

  Историческая справка. Возникновение задач Интегральное исчисление связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи Интегральное исчисление в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма Интегральное исчисление Ученые Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в Интегральное исчисление они не получили. Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный "неделимых" метод был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом "неделимых" был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем - работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

  В итоге этих исследований выявилась общность приемов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определенного интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм Интегральное исчисление были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин "интегральное исчисление" и обозначение интеграла òydx.

  При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределенного интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определенного интеграла. Дальнейшее развитие Интегральное исчисление в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера. В начале 19 в. Интегральное исчисление вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии Интегральное исчисление в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев. В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий Интегральное исчисление (Б. Риман, А. Лебег и др.).

  Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - ., 1901-24.

  Работы основоположников и классиков Интегральное исчисление Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

  Учебники и учебные пособия по Интегральное исчисление Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.

  Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 10.12.2018 10:30:17

10:23 В Новой Москве подорожали старые квартиры
10:10 США уличили в желании «свергнуть свободный режим»
10:04 Нападающий «Манчестер Юнайтед» перекачался и разучился забивать
09:43 Алексей Панин попал в аварию
09:35 Япония поддержала США в борьбе с Китаем
09:30 Найдено тело пропавшей в кругосветке дочери миллионера
09:24 В Германии захотели пересмотреть политику Меркель по мигрантам
08:36 «Самую красивую продавщицу рыбы» нашли в Китае
07:18 В США обвинили Россию во лжи про «Пересвет»