Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Диофантовы уравнения

Диофантовы уравнения (далее Д) (по имени древнегреческого математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах. Д называются также неопределенными. Простейшее Д ax + by = 1, где а и b - целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 - одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n - любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 - 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Д является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n - целые числа (m> n > 0).

  Диофант в сочинении "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д Общая теория решения Д первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д вида

  ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,

где а, b, с, d, е, f - целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д x2 - dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d - целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов Д В исследованиях Д степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьезные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д

  a0 xn + a1xn-1y +... + anyn = с

(где n ³ 3, a0, а1,..., an, с - целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д, но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д вида

  ax3 + y3 =1.

Существует много направлений теории Д Так, известной задачей теории Д является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д

  Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem ., Diophantische Gleichungen, ., 1938.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 23.04.2018 22:01:02

21:42 Микроавтобус протаранил толпу в Торонто
21:29 «Ахмат» забил три мяча «Спартаку» в Москве
21:01 Принц Уильям и Кейт Миддлтон показали публике новорожденного сына
20:59 Журналиста из Никарагуа застрелили в прямом эфире
20:18 В «Табакерке» пояснили планы переименовать театр
19:44 На Украине задержали доверенное лицо Путина
19:34 Раскрыт план Путина для «решительного прорыва» в улучшении жизни россиян
19:09 Советник Путина по интернету объяснил появление Сталина в кабинете
17:41 Все российские подлодки уместили на одной картинке