|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Эрлангенская программа | Эрлангенская программа (далее Э) единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген ( и напечатанной в том же году под названием "Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований".
Сущность Э состоит в следующем. Как известно, евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях; равные фигуры определяются как фигуры, которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований и объявить "равными" фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности; при этом придем к иной "геометрии", изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Введенное "равенство" должно удовлетворять следующим трем естественным условиям: 1) каждая фигура "равна" сама себе, 2) если фигура "равна" фигуре " то и " "равна" , 3) если фигура "равна" " а " "равна" ", то и "равна" ". Соответственно этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три требования: 1) в совокупность должно входить тождественное преобразование, оставляющее всякую фигуру на месте, 2) наряду с каждым преобразованием П, переводящим фигуру в " в совокупность должно входить "обратное" преобразование П-1 переводящее " в , 3) вместе с двумя преобразованиями П1 и П2, переводящими соответственно в " и " в ", в совокупность должно входить произведение П2П1 этих преобразований, переводящее в " (П2П1) состоит в том, что сначала производится П1, а затем П2). Требования 1), 2) и 3) означают, что рассматриваемая совокупность является группой преобразований (см. Непрерывная группа). Теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, называется геометрией этой группы.
Выбирая по-разному группу преобразований, получим разные геометрии. Так, принимая за основу группу движений, мы придем к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями, придем к аффинной, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Клейн ввел в рассмотрение довольно широкий круг других геометрий, определяемых подобным же образом.
Э не охватывает некоторых важных разделов геометрии, например риманову геометрию. Однако Э имела для дальнейшего развития геометрии существенное стимулирующее значение. Важные работы, ставящие своей целью объединить теоретико-групповой и дифференциально-геометрический подход к геометрии, принадлежат Я. Схоутену и Э. Картану.
Лит.: Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований ("Э"), в кн.: Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; его же, Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., 2 изд., т. 2, М. — Л., 1934; его же, Высшая геометрия, пер. с нем., М. —- Л., 1939; Александров П. С., Что такое неэвклидова геометрия, М., 1950; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
