Тождество

Тождество (далее Т), основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

В математике Т — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т — это предикат, изображаемый формулой х = у (читается: "х тождественно у", "х то же самое, что и y"), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения "одного и того же" предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т — это отношение, основанное на представлениях или суждениях о том, что такое "один и тот же" предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Т дополнительны: первый дает формальную модель понятия Т, второй — основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об "одном и том же" предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Т восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Т как понятие — это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, "не извлекается" из нее, а является абстракцией, восполняемой в "подходящих" условиях опыта или, в теории, — путем предположений (гипотез) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, "внутри" этого интервала, фактическое Т предметов в точности совпадает с Т в логическом смысле.

Важность понятия Т обусловила потребность в специальных теориях Т Самый распространенный способ построения этих теорий — аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х,

2. х = у É у = х,

3. x = y & y = z É x = z,

4. А (х) É (х = у É А (у*(,

где А (х) — произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А (х) и А (у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Т, к которому в качестве "нелогических постулатов" добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается "данность" предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете "как данном", необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т, основанное на аксиоме 1, является особым отношением "самотождественности", которое связывает каждый предмет только с самим собой — и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат — в данном случае равновесие — один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т как неразличимости, теории, в которой представление об "одном и том же" предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счете — от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от "порога различимости" на практике принципиально неустранима, представление о Т, удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Т Она утверждает, что суперпозиция Т также есть Т и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т — это либо "идеализация опыта" в условиях "убывающей точности", либо абстракция, восполняющая опыт и "создающая" новый, отличный от неразличимости, смысл Т: неразличимость гарантирует только Т в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т как эквивалентности.

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: "одному и тому же" предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об "одном и том же" предмете неизбежно основывается на определенного рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Ее нельзя верифицировать "вообще" — по всем мыслимым признакам, а только в определенных фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым — основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об "одном и том же" предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком ее аллоформ — конгруентных ей "содержательных" аксиом Т Например, в аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля — аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по "членству в них" и по их "собственному членству", с обязательным добавлением аксиом 1—3, определяющих Т как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1—4 относятся к так называемым законам Т Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т не имеет значения, коль скоро речь идет об общих абстрактных формулировках законов Т Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие "один и тот же" предмет, аксиоматики Т необходимо влияют на формирование универсума "внутри" соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Т, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новоселов.

		Новости 22.12.2024 09:14:59

	Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.