Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Счисление

Счисление (далее С) нумерация, совокупность приемов наименования и обозначения чисел. Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система С основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы С) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы С может быть любое число, большее единицы. К числу таких систем относится современная десятичная система С (с основанием n = 10). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0, 1,..., 9 (см. Десятичная система счисления).

  Несмотря на кажущуюся естественность такой системы С, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы С связано со счетом на пальцах. Имелись системы С и с другим основанием: 5, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre-vingts, то есть буквально четыре-двадцать, означает 80), 40, 60 и др. При научных исследованиях и при вычислениях на современных вычислительных машинах часто применяется система С с основанием 2 (см. Двоичная система счисления).

  У первобытных народов не существовало развитой системы С Еще в 19 в. у многих племен Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больших 6, говорили: "много", не индивидуализируя их. С развитием общественно-хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем С, которые позволили бы считать и обозначать все большие совокупности предметов. Одной из наиболее древних систем С является египетская иероглифическая нумерация, возникшая еще за 2500—3000 лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система С, в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются). Специальные знаки имелись для единицы , десяти , ста  и других десятичных разрядов 107. Число 343 записывалось так  (здесь.  — 300, — 40, 3), в славянской: . В алфавитных системах С запись чисел гораздо короче, чем в предыдущих; кроме того, над числами, записанными в алфавитной нумерации, гораздо легче производить арифметические действия. Однако в алфавитных системах С нельзя записывать сколь угодно большие числа. Греки расширили ионийскую нумерацию: числа 1000, 2000,..., 9000 они обозначали теми же буквами, что и 1, 2,..., 9, но ставили штрих внизу слева: так, `a означала 1000, `b — 2000 и т. д.

  Для 10 000 был введен новый знак М. Тем не менее ионийская система С оказалась непригодной уже для астрономических вычислений эпохи эллинизма, и греческие астрономы этого времени стали комбинировать алфавитную систему с шестидесятеричной вавилонской — первой известной нам системой С, основанной на позиционном принципе. В системе С древних вавилонян, возникшей примерно за 2000 лет до н. э., все числа записывались с помощью двух знаков:  (для единицы) и  (для десяти). Числа до 60 записывались как комбинация этих двух знаков с применением принципа сложения. Число 60 снова обозначалось знаком , являясь единицей высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип сложения, а число 36 000 обозначалось тем же знаком, что и единица, и т. д. Число 343 = 5 60 + 4.10+3 в этой системе записывалось так: . Однако в силу отсутствия знака для нуля, которым можно было бы отмечать недостающие разряды, запись чисел в этой системе С не была однозначной (см. Клинописные математические тексты). Другая система С, основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан (Центральная Америка) в середине 1-го тысячелетия н. э. У майя существовали две системы С: одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной жизни, Другая — позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчетах. Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер.

  Современная десятичная позиционная система С возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии. До этого в Индии имелись системы С, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого-нибудь разряда умножается на стоящее слева число). Аналогично строились старокитайская система С и некоторые др. Если, например, условно обозначить число 3 символом , а число 10 символом X, то число 30 запишется как IIIX (три десятка). Такие системы С могли служить подходом к созданию десятичной позиционной нумерации.

  Десятичная позиционная система С дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система С начинает распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 в. появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система С, в 10 в. десятичная позиционная нумерация доходит до Испании, в начале 12 в. она появляется и в других странах Европы. Новая система С получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и в житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. ив самом начале 18 в. вытесняет алфавитную. С введением десятичных дробей десятичная позиционная система С стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

  Лит.: Кэджори ф.. История элементарной математики с указаниями на методы преподавания, пер. с англ., 2 изд., Од., 1917; Леффлер Е., Цифры и цифровые системы культурных народов в древности и в новое время, пер. с нем., Од., 1913; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Башмакова И. Г. и Юшкевич А. ГГ., Происхождение систем счисления, в кн.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М.—Л., 1951.

  И. Г. Башмакова.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 29.03.2024 01:34:30