|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Сходимость | Сходимость (далее С) математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет предел. В этом смысле говорят о С последовательности, С ряда, С бесконечного произведения, С непрерывной дроби, С интеграла и т. д. Понятие С возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному, то есть имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции, и т. п.).
С последовательности {an}, n = 1, 2,..., означает существование у нее конечного предела  ; С ряда  - конечного предела (называемого суммой ряда) у последовательности его частичных сумм  ,  ; С бесконечного произведения b1 b2... bn - конечного предела, не равного нулю, у последовательности конечных произведений pn = b1b2... bn, n = 1, 2,...; С интеграла  от функции f (x), интегрируемой по любому конечному отрезку (а, b),- конечного предела у интегралов при b ® +µ, называется несобственным интегралом  .
Свойство С тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Например, часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд
для функции sin х - в сходящийся при всех х ряд
Подобные ряды могут быть использованы для приближенного вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой которых они являются, например,
 ,
 .
При практических вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, который сходится "более быстро". Если даны два сходящихся ряда  и  , и  ,  . - их остатки, то 1-й ряд называется сходящимся быстрее 2-го ряда, если
 .
Например, ряд
сходится быстрее ряда
 .
Используются и другие понятия "более быстро" сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С рядов, то есть методы, позволяющие преобразовать данный ряд в "более быстро" сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие "более быстрой" С и для несобственных интегралов, для которых также имеются способы улучшения их С
Большую роль понятие С играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближенных решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определенных условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод). Для практического нахождения приближенных решений уравнений широко используются ЭВМ.
Если изображать члены an последовательности {an} на числовой прямой, то С этой последовательности к а означает, что расстояние между точками an и а становится и остается сколь угодно малым с возрастанием n. В этой формулировке понятие С обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для которых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (например, на последовательности векторов, матриц, функций, геометрических фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность {an} сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С допускает обобщение на совокупности величин еще более общей природы, в которых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство).
В математическом анализе используются различные виды С последовательности функций {fn (x)} к функции f (x) (на некотором множестве М). Если  для каждой точки X0 (из М), то говорят о С в каждой точке (если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С почти всюду). Несмотря на свою естественность, понятие С в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями (например, последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С функций fn (x) к f (x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С интегралов от функций fn (x) к интегралу от f (x) и т. д.). В связи с этим было введено понятие равномерной С, свободное от этих недостатков: последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к f (x) на множестве М, если
Этот вид С соответствует определению расстояния между функциями f (x) и ( (х) по формуле
Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С
В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С: последовательность {fn (x)} сходится на отрезке (a, b) в среднем квадратическом к f (x), если
 .
Более общо, последовательность {fn (x)} сходится в среднем с показателем р к f (x), если
 .
Эта С соответствует заданию расстояния между функциями по формуле
 .
Из равномерной С на конечном отрезке вытекает С в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции j(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к j(х) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С Например, С по мере: для любого e > 0 мера множества тех точек, для которых  , стремится к нулю с возрастанием n", слабая С:
для любой функции j(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx,... слабо сходится к нулю на отрезке (-p, p), так как для любой функции j(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты  ряда Фурье стремятся к нулю).
Указанные выше и многие другие понятия С последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) - так называемые банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С по норме (так называемой сильной С), в банаховых пространствах рассматривается слабая С, определяемая условием  для всех линейных функционалов; введенная выше слабая С функций соответствует рассмотрению нормы  . В современной математике рассматривается также С по частично упорядоченным множествам (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). В теории вероятностей для последовательности случайных величин употребляются понятия С с вероятностью 1 и С по вероятности.
Еще математики древности (Евклид, Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объемов. Доказательством С рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме исчерпывания метода. Термин "С" в применении к рядам был введен в 1668 Дж. Грегори при исследовании некоторых способов вычисления площади круга и гиперболического сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о С употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих с современной точки зрения доказательств С В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привело впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устраненным лишь с развитием отчетливой теории С, а с другой - предвосхитило современную теорию суммирования расходящихся рядов. Строгие методы исследования С рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши, Н. Абель, К. Вейерштрасс, Б. Больцано и др.). Понятие равномерной С было введено Дж. Стоксом. Дальнейшие расширения понятия С были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971-73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1970; Никольский С М., Курс математического анализа, т. 1-2, М., 1973. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 05.11.2024 22:40:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
