|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Сферическая тригонометрия | Сферическая тригонометрия (далее С)математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия:
 (1)
cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А, (2)
cos A = - cos cos С + sin sin С cos a, (21)
sin a cos = cos b sin c - sin b cos с cos А, (3)
sin А cos b = cos sin + sin cos С cos a; (31)
в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы Сферическая тригонометрия, аналогичные указанным. Формулы Сферическая тригонометрия позволяют по любым трем элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а - гипотенуза, b, с - катеты) формулы Сферическая тригонометрия упрощаются, например:
sin b = sin a sin В, (1")
cos a = cos b cos c, (2")
sin a cos = cos b sin c. (3")
Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)
или, после преобразования,
cos а = cos b cos с (формула 2").
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
 ,
 ,
 ,
 .
При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближенных формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:
 (1")
 (3")
или более точные формулы:
 (1"`)
 (3"`)
Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1")-(3"), и различные случаи их решения были известны еще греческим ученым Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие ученые сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский ученый Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским ученым Абу-ль-Вефа (10 в.) (формула (1)), немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) (формулы типа (2)), французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) (формулы типа (21)) и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) (формулы типа (3) и (31)). Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул Сферическая тригонометрия Отдельные удобные для практики формулы Сферическая тригонометрия были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
