|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Сигма-функции | Сигма-функции (далее С) целые трансцендентные функции, введенные К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырех С-ф. является функция
где w = 2mw1 + 2nw2, w1 и w2 — два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция s(z) имеет простые нули при z = w, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решетку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w1, 2w2, 2 (w1 + w2) параллельными переносами вдоль его сторон.
При помощи функции s(z) могут быть определены дзета-функция x(z) и эллиптическая функция Ã(z) Вейерштрасса:
 ,  .
Обозначим w3 = - w1 - w2, x(wk) = hk, k =1, 2, 3.
Формулы<
 , k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции s(z). Равенства
 , k = 1, 2, 3,
определяют остальные три С-ф. Имеем s(0) = 0, sk (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция s(z) является нечетной, а три остальные С-ф. — четные.
Любая эллиптическая функция f (z) с периодами 2w1 и 2w2 может быть рационально выражена через С-ф. по формуле
 ,
где С — постоянная, a1,..., cr и b1,..., br — соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a1 +... + ar = b1 +... + br.
С-ф. тесно связаны с тэта-функциями.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. (с нем.), М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 22.12.2024 11:10:10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
