|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Сжатых отображений принцип | Сжатых отображений принцип (далее С) одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном ("сжимающем") отображении его в себя. С применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение
Ax = х. (*)
Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение ее в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.
Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство
d (Ax, Ау) £ ad (х, у),
где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.
С утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями
xn = Axn-1, n = 1,2,...,
имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:
 .
С позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С решение может быть с наперед заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.
С помощью определенного выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.
Ш. А. Алимов.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 23.01.2025 02:24:42
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
