|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Регрессия (математич.) | Регрессия (далее Р) в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определенное значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = xi наблюдается ni, значений yi1, ...,  величины у, то зависимость средних арифметических  от xi и является Р (математич.) в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.
Изучение Р (математич.) в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и , имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х = х величина является случайной величиной с определенным (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р (математич.) величины по величине Х определяется условным математическим ожиданием , вычисленным при условии, что Х = х:
Е( êх) = u(х).
Уравнение у = u(х), в котором х играет роль "независимой" переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины по X. Точность, с которой уравнение Р (математич.) по Х отражает изменение в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины , вычисленной для каждого значения Х = х:
D( êх) = s2(x).
Если s2(х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что и Х связаны строгой функциональной зависимостью = u(X). Если s2(х) = 0 при всех значениях х и u(х) не зависит от х, то говорят, что Р (математич.) по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р (математич.) Х по и в частности, уравнение Р (математич.) х = u(у), = Е(Хï = у). Функции у = u(х) и х = u(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.
Линии Р (математич.) обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математического ожидания Е( — f(X))2 достигается для функции f(x) = u(х), т. е. Р (математич.) по Х дает наилучшее, в указанном смысле, представление величины по величине X. Это свойство используется для прогноза по X: если значение непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту Х вектора (X, ), то в качестве прогнозируемого значения используют величину u (X).
Наиболее простым является случай, когда Р (математич.) по Х линейна:
Е(ïx) = b0 + b1x.
Коэффициенты b0 и b1, называются коэффициентами регрессии, определяются равенствами
 , 
где mХ и m — математические ожидания Х и ,  и  — дисперсии Х и , а r — коэффициент корреляции между Х и . Уравнение Р (математич.) при этом выражается формулой
В случае, когда совместное распределение Х и нормально, обе линии Р (математич.) у = u(х) и х = u(у) являются прямыми.
Если Р (математич.) по Х отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р (математич.): математическое ожидание Е( — b0 — b1X)2 достигает минимума b0 и b1 при b0 = b0 и b1 = b1. Особенно часто встречается случай уравнения Р (математич.), выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:
у = u(Х) = b0j0(x) + b1j1(x) + ... + bmjm(x).
Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р (математич.), при которой j0(x) = 1 , j1(x) = x, ..., jm(x) = xm.
Понятие Р (математич.) применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если — случайная величина, а Х = (X1, ..., Xk) — случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то Р (математич.) по X определяется уравнением
y = u ( x1, ..., xk),
где u( x1, ..., xk) = E{ïX = x1, ... , Xk = xk}.
Если
u ( x1, ..., xk) = b0 + b1x1 + ... + bkxk,
то Р (математич.) называется линейной. Эта форма уравнения Р (математич.) включает в себя многие типы Р (математич.) с одной независимой переменной, в частности полиномиальная Р (математич.) по Х порядка k сводится к линейной Р (математич.) по X1, ..., Xk, если положить Xk = Xk.
Простым примером Р (математич.) по Х является зависимость между и X, которая выражается соотношением: = u(X) + d, где u(x) = Е( X = х), а случайные величины Х и d независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у = u(х) между неслучайными величинами у и х.
На практике обычно коэффициенты Р (математич.) в уравнении у = u(х) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным (см. Регрессионный анализ).
Первоначально термин "Р (математич.)" был употреблен английским статистиком Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности в следующем специальном смысле: "возвратом к среднему состоянию" (regression to mediocrity) было названо явление, состоящее в том, что дети тех родителей, рост которых превышает среднее значение на а единиц, имеют в среднем рост, превышающий среднее значение меньше чем на а единиц.
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Кендалл М. Дж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.
А. В. Прохоров. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 04.11.2025 08:53:37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
