|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Приближенное решение | Приближенное решение (далее П) дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
П дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галеркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определенных условий можно получить точное решение задачи. Для получения П останавливаются на некотором шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y" = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причем известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y (x) - y (x0) =  .
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:
A1 = y`0 = f (x0, y0);
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0.
Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причем второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущенном движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближенных значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения
y`` = f (x, у)
с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х — х0 Основной характеристикой точности формул П дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближенных значений решения у (х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка (х0, b) Так, для того чтобы вычислить у (х1), где х1 = х0 + h, h = (b — x0)/n, представляют у (х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 — х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:
 , 
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке (xk, xk+1) интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая дает с определенной точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
 ,
где
 ;
 ;
 ;
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.
В разностных формулах П удается несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), hi и разностей Dihj, где
hj = hf (xj, yj); Dhj = hj+1 - hj;
Dihj = Di-1hj+1 - Di-1hj.
Примером разностной формулы П является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности" 3-го порядка:
дает решение у (х) в точке xk с точностью до величин порядка h4.
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путем двукратного применения
Формула
|
k = 2
|
k = 3
|
k = 4
|
(1 + x)3 " 1 + 3x
|
0,04
|
0,012
|
0,004
|
|
0,06
|
0,022
|
0,007
|
|
0,19
|
0,062
|
0,020
|
|
0,20
|
0,065
|
0,021
|
|
0,31 (17°48")
|
0,144 (8°15")
|
0,067 (3°50")
|
|
0,10 (5°43")
|
0,031 (l"48")
|
0,010 (0°34")
|
|
0,25 (14°8")
|
0,112 (6°25")
|
0,053 (3°2")
|
|
0,14
|
0,47
|
0,015
|
|
0,04
|
0,014
|
0,004
|
|
0,25
|
0,119
|
0,055
|
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стермер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у" = f (x, у). По этой формуле находят D2yn-1, а затем yn+1 = yn +Dyn+1 + D2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y"n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитических и численных методов, для П дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
