Парадокс

Парадокс (далее П) (от греч. parádoxes - неожиданный, странный), неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по данному вопросу. В этом смысле эпитет "парадоксальный", т. е. нестандартный, отклоняющийся от наиболее распространенной традиции, противопоставляется эпитету "ортодоксальный", понимаемому как синоним слова "проверенный", т. е. общепринятый, буквально следующий господствующей традиции. Любой П выглядит как отрицание некоторого мнения, кажущегося "безусловно правильным" (вне зависимости от того, насколько верно это впечатление); сам термин "П" и возник в античной философии для характеристики нового, необычного, оригинального мнения. Поскольку оригинальность высказывания воспринять гораздо проще, чем удостовериться в его истинности или ложности, парадоксальные высказывания часто воспринимают как свидетельства независимости, самобытности выражаемых ими мнений, особенно если они к тому же имеют внешне эффектную, четкую, афористичную форму.

Такая репутация может быть, конечно, и вполне заслуженной - парадоксальную форму имеют, например, такие философско-этические обобщения, как "Твои взгляды мне ненавистны, но всю жизнь я буду бороться за твое право отстаивать их" (Вольтер) или "Люди жестоки, но человек добр" (Р. Тагор). Но и независимо от глубины и истинности конкретного высказывания парадоксальность его, особенно если речь идет об устном высказывании, привлекает внимание; поэтому неожиданность выводов, несоответствие их "естественному" ходу мыслей есть (наряду с общей логической последовательностью изложения и красотами стиля) один из существенных атрибутов ораторского искусства.

Часто, впрочем, наблюдается обратная реакция; явление (или высказывание), противоречащее, хотя бы внешне, "здравому смыслу", характеризуется как П, свидетельствующий в некотором смысле о "противоречивости" соответствующего явления (или высказывания). Таков, например, отмеченный впервые Д. Дидро "актерский П": актер может вызывать у зрителей полную иллюзию изображаемых им чувств, сам при этом ничего не переживая. "Обратная сторона" этого же П обыграна О. Уайльдом: одна из его героинь не может играть роль Джульетты именно потому, что влюбилась сама.

Обе эти тенденции в трактовке П проявляются в эффекте остроумных и неожиданных концовок анекдотов и, более широко, могут лежать в основе комического как эстетической категории. Если, например, высказывание Т. Джефферсона "Война - такое же наказание для победителя, как для побежденного" воспринимается современным читателем как вполне серьезное (и "парадоксальность" его состоит лишь в том, что оно обращает внимание людей на то, мимо чего часто спокойно проходят), то откровенными пародиями звучат обычно многочисленные высказывания Дж. Б. Шоу (пример: "Не поступай с другим так, как хочешь, чтобы он поступил с тобой: у вас могут быть разные вкусы") и О. Уайльда ("Не откладывай на завтра то, что можешь сделать послезавтра"). П в значительной мере лежат и в основе поэтики пословиц ("Тише едешь - дальше будешь" и т.п.) и ряда литературных жанров (например, известная басня "Вельможа" И. А. Крылова построена на П: дурак-правитель попадает в рай... за лень и безделье). П, как художественный прием, широко используются в детской "поэзии нелепостей" (Л. Кэрролл, Э. Мили, Э. Лир, К. И. Чуковский).

Пы в логике. Научное понимание термина "П", хотя и "выросло" из общеразговорного, не совпадает с ним. И поскольку в науке "нормой" естественно считать истину, то так же естественно характеризовать в качестве П всякое отклонение от истины, т. е. ложь, противоречие. Поэтому в логике П понимается как синоним терминов "антиномия", "противоречие": так называют любое рассуждение, доказывающее как истинность некоторого высказывания, так и истинность его отрицания. При этом имеются в виду именно правильные (соответствующие принятым логическим нормам) умозаключения, а не рассуждения, в которых встречаются ошибки - вольные (софизмы) или невольные (паралогизмы). Различным смыслам (и различным уточнениям) понятия доказательства соответствуют и различные смыслы (различные уровни) и самого понятия "П". В то же время анализ любого рассуждения, имеющего (или претендующего на) доказательную силу, показывает, что оно опирается на некоторые (скрытые или явные) допущения - специфические для данного рассуждения или же характерные для теории в целом (в последнем случае их обычно называют аксиомами пли постулатами). Т. о., наличие П свидетельствует о несовместимости данных допущений (а если речь идет о теории, построенной посредством, аксиоматического метода, то - о противоречивости ее системы аксиом; см. Непротиворечивость). Однако устранение какого-либо допущения, даже если оно и приводит к устранению некоторого конкретного П, вовсе не гарантирует еще устранения всех П; с другой стороны, неосторожный отказ от слишком многих (или слишком сильных) допущений может привести к тому, что в результате получится существенно более слабая теория (см. Полнота).

Сколько-нибудь успешное выполнение обоих этих условий (непротиворечивости и полноты), в свою очередь, предполагает тщательное выявление всех неявно принятых в рассматриваемой научной теории предпосылок, а затем явный их учет и формулировку. Реализация этих задач одно время возлагалась на аксиоматический метод, что нашло наиболее полное выражение в программе обоснования математики и логики, предложенной Д. Гильбертом (см. Метаматематика). Поскольку в первую очередь рассматривалась задача устранения П, открытых на рубеже 19 и 20 вв. в теории множеств, лежащей в основании почти всей математики, пути се решения усматривались в создании систем аксиоматической теории множеств, пригодных для достаточно полного построения математических теорий, и в последующем доказательстве непротиворечивости этих систем. Например, в одном из наиболее известных П теории множеств - т. н. парадоксе Б. Рассела - идет речь о множестве R всех множеств, не являющихся своими собственными элементами. Такое R является собственным элементом тогда и только тогда, когда оно не является собственным элементом. Поэтому допущение о том, что R является собственным элементом, приводит к отрицанию этого допущения, из чего следует (причем даже по правилам интуиционистской логики, т. е. без использования исключенного третьего принципа), что R не является собственным элементом. Но отсюда уже следует (в силу предыдущей фразы), что R является собственным элементом, т. е. оба противоречащих друг другу допущения оказались доказанными, а это и есть П

В системах аксиоматической теории множеств Э. Цермело и Цермело - Френкеля вопрос о множестве R (является ли оно собственным элементом) попросту снимается, т.к. аксиомы этих систем не позволяют рассматривать такое R (оно в этих системах не существует). В других системах (принадлежащих Дж. фон Нейману, П Бернайсу, К. Геделю) такие R рассматривать можно, но эта совокупность множеств объявляется (при помощи соответствующих ограничительных аксиом) не множеством, а только "классом", т. е. заранее объявляется, что R не может являться ничьим (в т. ч. и своим собственным) элементом, чем опять-таки аннулируется расселовский вопрос. Наконец, в различных модификациях типов теории, идущих от А. Н. Уайтхеда (Великобритания) и самого Б. Рассела (например, в системах У. О. Куайпа, США), разрешается рассматривать любые множества, описанные осмысленными языковыми выражениями, и ставить относительно таких множеств любые вопросы, но зато сами выражения вроде "множество всех множеств, не являющихся своими собственными элементами "объявляются бессмысленным и ввиду нарушения некоторых соглашений лингвистического (синтаксического) характера. Аналогичным образом в упомянутых теориях устраняются и др. известные теоретико-множественные П (например, парадокс Г. Кантора о мощности множества всех подмножеств "множества всех множеств", которая неминуемо должна была бы оказаться больше самой себя, и пр.).

Однако ни одна из систем аксиоматической теории множеств не решает в полной мере проблему устранения П, поскольку гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой: в силу теоремы К. Геделя (1931) непротиворечивость достаточно богатых аксиоматических теорий (включая формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств), если и имеет место, не может быть доказана с помощью одних лишь методов, приемлемых с точки зрения традиционной гильбертовской теории доказательств. В рамках классической математики и логики это ограничение преодолевается привлечением более сильных (в известном смысле конструктивных, но уже не "финитных" в гильбертовском понимании) средств математических рассуждений, с помощью которых удалось получить доказательства непротиворечивости формализованной арифметики (П С. Новиков, немецкие математики Г. Генцен, В. Аккерман, К. Шютте и др.). Интуиционистская и конструктивная школы (см. Конструктивное направление в математике) вообще не считают нужным рассматривать проблему П: используемые ими "эффективные" способы построения математических теорий приводят по существу к совершенно новым научным системам, из которых с самого начала изгнаны "метафизические" методы рассуждений и образования понятий, повинные в появлении П в классических теориях. Наконец, в рамках ультраинтуиционистской программы обоснования математики решение проблемы П достигается за счет решительного пересмотра самого понятия математического доказательства, что позволило, в частности, получить доказательства непротиворечивости (в ультраинтуиционистских терминах: "недостижимости противоречия") некоторых систем аксиоматической теории множеств.

Обсуждавшиеся до сих пор П часто именуют "логическими", поскольку они могут быть переформулированы в чисто логических терминах. Например, парадокс Рассела выглядит тогда следующим образом. Назовем свойства, не относящиеся к самим себе ("синее", "глупое" и т.п.), "импредикабельными", в отличие от "предикабельных" свойств, относящихся к себе (например, "абстрактное"). Свойство "импредикабельное" импредикабельно в том и только в том случае, когда оно предикабельно. Впрочем, некоторые логики (например, советский ученый Д. А. Бочвар) причисляют к "собственно логике" ("чистой логике") только узкое исчисление предикатов (быть может, с равенством), свободное от П (см. Логика предикатов, Логика). П же, с точки зрения Бочвара, возникают уже в самой теории множеств (к которой относится и расширенное исчисление предикатов) из-за неограниченного применения так называемого принципа свертывания (или принципа абстракции), позволяющего вводить в рассмотрение множества объектов, задаваемые с помощью произвольных свойств этих объектов (см. Определение через абстракцию). Устранение П достигается здесь при помощи многозначной логики: парадоксальным утверждениям (типа расселовского, например) приписывается третье (наряду с истиной и ложью), истинностное значение: "бессмысленность".

Другой важный класс П, также возникающих при рассмотрении некоторых понятий теории множеств и многоступенчатой логики, связан с понятиями обозначения, именования, осмысления истины (лжи) и т.п.: это так называемые семантические П К ним относятся, например, парадокс Ришара - Берри (в одной из формулировок которого речь идет о фразе "наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов", определяющей - по крайней мере согласно обычным представлениям об "определимости" - некоторое натуральное число при помощи тридцати двух слогов), наиболее древний из известных П- так называемый "лжец", или "лгущий критянин" (порождаемый фразой "все критяне - лжецы", приписываемой критскому философу Эпимениду, или же просто фразой "я лгу"), а также парадокс Греллинга: назовем прилагательные, обладающие называемым ими свойством (например, "русское" или "многосложное"), негетерологическими, а прилагательные, не обладающие соответствующим свойством ("английское", "односложное", "желтое", "холодное" и т.п.),- гетерологическими; тогда прилагательное "гетерологическое" оказывается гетерологическим в том и только в том случае, когда оно негетерологично. Поскольку семантические П формулируются не столько в логико-математических, сколько в лингвистических терминах, их разрешение не считали существенным для оснований логики и математики; однако между ними и логическими П имеется тесная связь: последние относятся к понятиям, а первые - к их именам (сравните парадоксы Рассела и Греллинга).

Термин "П" употребляется в логике и математике также в более широком, близком к разговорному смысле, когда речь идет не о подлинном противоречии, а лишь несоответствии некоторых формальных экспликаций (уточнений) с их интуитивными прототипами. Например, так называемые П материальной импликации "из лжи следует все, что угодно" и "истина следует из любого суждения", доказуемые в классической логике высказываний, обнаруживают несоответствие между разговорным иформально-логическими пониманиями отношения следования; "парадокс Скулема" в аксиоматической теории множеств, согласно которому понятие несчетного множества может быть выражено средствами счетной модели, показывает относительный характер понятий счетности и несчетности; аналогичный характер носят П, встречающиеся в модальной логике (несоответствие модальностей "возможно" и "необходимо" с их формально-аксиоматическими описаниями), в этике и др. Необходимо отметить, что высказанное выше противопоставление П, как рассуждений формально "правильных", и софизмов, основанных на заведомо ошибочных рассуждениях, в значительной мере условно; многие рассуждения, традиционно квалифицируемые как софизмы и "псевдопарадоксы", оказываются весьма важными в свете новых логических и методологических направлений. Например, известный в древности "П кучи" (одно зерно не есть куча; прибавление одного зерна не создает кучу; миллион зерен - это куча; в др. формулировках - "П лысого" и т.п.) "разрешался" до недавнего времени простой ссылкой на недостаточную определенность фигурирующего в нем понятия "куча". Сознательный же отказ от такого рода прямолинейных "решений" и выяснение возможностей точного использования таких понятий (типа "много" и т.п. появляются одной из важнейших исходных идей упоминавшегося выше ультраинтуиционистского направления. К понятию "П" близки также понятия антиномия и апория.

П, то есть выводы из, казалось бы, верных (во всяком случае общепринятых) исходных принципов, противоречащие опыту (и, быть может, интуиции и здравому смыслу), встречаются не только в чисто дедуктивных науках, но и, например, в физике (так, "парадоксальными", то есть противоречащими многовековой научной традиции, выводами изобилуют теория относительности, квантовая механика). Анализ многих таких П (например, фотометрического и гравитационного П в физике и космогонии; см. Космологические парадоксы) так же, как в логике и математике, сыграл важную роль для соответствующих научных дисциплин. В более широком смысле сказанное можно отнести вообще к любым уточнениям научных теорий, обусловленным тем, что новые экспериментальные данные вступают в противоречие с принципами, ранее казавшимися надежно проверенными; такие уточнения являются неотъемлемой частью общего процесса развития науки.

Лит.: Френкель А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 1 (имеется подробная лит.); Fraenkel A. A., Bar-Hillel J., Levy A., Foundations of set theory, 2 ed., Amst., 1973.

		Новости 22.12.2024 17:32:40

	Copyright © 1999-2024 Oval.ru, All Rights Reserved.